高阶导数教案A班

标题：高阶导数 教学目标：1. 会求初等函数的高阶导数; 2. 了解莱布尼茨公式. 教学重点及难点： 教学重点：二阶导数计算. 教学难点：n阶导数的推导及莱布尼茨公式. 教 学 内 容 （教 学 时 数： 2 ） 备注： 一、新课导入 若质点的运动方程ss(t)，则物体的运动速度为v(t)s(t)，或 ds，而加速度a(t)是速度v(t)对时间t的变化率，即a(t)是速度v(t)v(t)dt dvdds对时间t的导数： a(t)()或dtdtdt v(t)(s(t))，由上可见，加速度是s(t)的导函数的导数，这样就 产生了高阶导数。 二、内容精讲 定义 若函数yf(x)的导函数f(x)在x0点可导，就称f(x)在点x0的导数为函数yf(x)在点x0处的二阶导数，记为f(x0)，即 xx0limf(x)f(x0)f(x0)，此时，也称函数yf(x)在点x0处二阶可xx0导。 注⑴ 若yf(x)在区间I上的每一点都二次可导，则称f(x)在区间I上二次可导，并称f(x),xI为f(x)在I上的二阶导函数； ： ⑵ 仿上定义，由二阶导数f(x)可定义三阶导数f(x)，由三阶导 备注： 由三阶导数f(x)可定义四阶导数ff(n1)(4)(x)，一般地，可由n1阶导数(x)定义n阶导数f(n)(x)； ⑶ 二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记 为：f(n)(x0)，y(n)dny(x0)，ndxxx0dnf或ndxxx0与f(n)(x),y(n)dny (x),n或dx dnf； ndx ⑷ 开始所述的加速度就是s对t的二阶导数，依上记法，可记 d2s2或s(t)； dt 例题精讲： 例1 yax2bxc，求y,y。 解 y2axb例2 yy2ay0 1，求y。 x123512133解 y(x)x，y(x2)x2 224例3 ye3x，求y。 解 ye3x(3x)3e3x，y3e3x，y27e3x 例4 yexcosx，求 y。 解 yexcosxexsinxex(cosxsinx) ye(cosxsinx)e(sinxcosx)2esinx xxx例5 ylnx，求y x1xlnx11lnxx解 y 22xx (1lnx)x2(1lnx)(x2)x(1lnx)2x3x2xlnxy x4x4x4备注： 例6 yln(1x)，求各阶导数。 解 yln(1x)，y1121，y，， y23(1x)(1x)1xy(4)123，…… (1x)4(n1)! n(1x)一般地，有 y(n)(1)n1例7 ysinx，求各阶导数。 解 ycosxsin(x) 2 ycos(x)sin(x2) 22ycos(x2)sin(x3) 22一般地，有y(n)sin(xn)，即 (sinx)(n)sin(xn)。 22选讲：莱布尼茨公式 (uv)uvuv, (uv)uv2uvuv, (uv)uv3uv3uvuv [u(x)v(x)](n)k(nk)(k)Cnuv，其中u(0)u,v(0)v k0n例8 yexcosx，求y(5)（选讲） 12(ex)(4)(cosx)C5(ex)(cosx) 解 y(5)(ex)(5)cosxC53x4x(4)x(5) C5(e)(cosx)C5(e)(cosx)e(cosx) =ecosx5e(sinx)10e(cosx) xxx10exsinx5excosxex(sinx) =4e(sinxcosx) x三、同步练习 1. 求下列函数的二阶导数 (1) y(2x1)2 (2) y1 (3) yx2x x (4) ysinxcosx (5) yx2lnx (6) y10x (7) yexsinx (8) yln(1x2) （9）yarctanx 2. 已知yxex, 求y(4). 3. 已知yxn, 求y(n). 4. 已知ycosx，求y(n). 5. 验证ye2xe2x满足关系式：y4y0. 6. 验证y 作业、讨论题、思考题： x32满足关系式：2y(y1)y. x4