具有半正非线性项的分数阶差分方程组边值问题的正解

文章编号：1003-3998(2020)01-132-14中图分类号：0175.7 文献标识码：A1引言及预备知识对任意的 e,d e 底且 e 0使得-fi(t, x,y) + M > 0, (t, x,y) E [v — 1, v + b — 1]nv_i x r+ x r+，i = 1,2-分数阶方程是近年来研究的热点问题.数学家们研究发现运用分数阶模型能更精确地 模拟现实问题，其应用领域涵盖流体力学、流变学、粘弹性力学、电分析化学、生物系统的 电传导等方面，虽然存在许多争论，但其应用的广泛性与有效性则是不争的事实[1]•然而我

们注意到，绝大多数学者研究的问题都是微分方程，对于分数差分方程却鲜有问津.郑祖麻收稿日期：2018-04-02;修订日期：2018-11-13E-mail: xujiafa292@sina.com基金项目：国家自然科学基金(11601048)、重庆市教委项目(KJQN201900539)和重庆师范大学青年拔尖人才

资助项目(02030307/0040)Supported by the NSFC (11601048), the Technology Research Foundation of Chongqing Edu­cational Committee (KJQN201900539) and the Talent Project of Chongqing Normal University

(02030307/0040)

No.1徐家发：具有半正非线性项的分数阶差分方程组边值问题的正解133教授I2〕指出：“对于分数微分方程来说，离散化或者问题提出时便是离散的分数差分方程 是不可避免的.迄今只作为近似解计算的出发点，没有对分数差分方程的专门研究，因此， 无论从理论还是应用的角度看，这都是极大的缺憾”.然而令人喜悦的是，近期已有很多工 作致力于研究分数差分方程，参见文献［2-15］及其所附参考文献，其中专著［2-3］研究总结 了近期这方面一些杰出的工作.在文献⑷中，作者运用范数型拉伸与压缩不动点定理［16］研究了具有半正非线性项的 分数差分方程边值问题△旬+ v — 1, + v — 1)), t G ［0, T］z,n

y(v - 1) = y(v + T)十工 F (如 y (切)，i=1(1.2)其中v G (0, 1), A为一正参数.在文献［5］中，作者运用拓扑度理论［16］,研究了问题(1.2)非平凡解的存在性(入=1,F = 0),并在非线性项非负条件下，运用单调有界原理获得了唯一正解的存在性，给出了迭代序 列.对于分数差分方程组的研究，可参见文献［6-8］及其所附参考文献.在文献［6］中，作者 运用范数型拉伸与压缩不动点定理研究了分数阶差分方程组边值问题正解的存在性-yi(t)=入 1九(t + vi

- 1, yi(t + vi - 1), y2(t + v2 - 1)) 7G [1,b + 1]n?- 1,yi (t + vi - 1) ,y2 (t + V2 - 1))

— △\"2y2(t) = A2/2 (t + V2 G [1,b + 1]n,yi (vi - 2) = yi (vi + b + 1) = 0,、y2 (v2 - 2) = y2 (v2 + b + 1) = 0,其中vi,v2 G (1, 2］,入i,入2是两个正参数•他们使用的半正非线性项fi(i = 1, 2)的超线性增

长条件是lim = lim M1^2=0, (1.3)92Tyi + y2 yi+ 92—o十 yi + y对t G ［v», v +切隔-2 一致成立.受上述文献曲启发，本文运用不动点指数理论研究分数差分方程组边值问题(1.1)正解

的存在性.创新点在于：⑴非线性项可以做到下方有界；(2)运用凹凸函数刻画非线性项 之间的耦合行为；(3)所使用的条件优于条件(1.3)，详见第2节将给出的(C2).以下我们给出本文所使用到的分数阶差分计算相关的定义及引理.定义对任意有意义的t,v G R,定义律=册%.如果t + 1 - v是伽马函

数的一个奇点且t + 1不是奇点，则洋=0.定义1.2回 当v> 0时，函数f的v阶和分定义为f (t) = △-vf (t; a)=—s—1)^^f (s),t G -由此定义f的v阶分数差分为△ f (t) = △ △一N f (t),其中 t G N+v, N G N 满足：0 < N - 1 < v < N.134数学物理学报Vol.40A引理1.3回 若对于实数t, v使得比 g 均是良定义的,则△洋=vtv-1.引理1.4回 若N满足：0 < N — 1 < v < N，则对于Ci E R,i = 1, 2, ••- ,N,我们有

△-v △\"\"(£) = y(t) + cit— + C2tv-2 + ••• + cN

.为了获得方程组(1.1)正解的存在性，我们首先考虑如下的辅助问题△vx(t) = f (t + v — 1,x(t + v — 1)),t E [0, b]No,

x(v — 2) = 0, ^x(v — 2) = ^x(v + b — 1),(1.4)其中 1 < v < 2, b E Ni, f E C([v — 1,v + b — 1]n”_i x R+, R)满足以下半正型条件

(C1『存在正常数M〉0使得f (t, x) + M > 0, (t, x) E [v — 1, v + b — 1]Nv-1 x R+.引理引理3.11分数阶差分方程边值问题(1.4)的解可表示为1 bx(t) = r( ) G(t, s)f (s + v — 1, x(s + v — 1)), (t, s) E [v — 1,v + b — 1]Nv_i x [0, b]No ,(1.5)(v) s = 0其中格林函数G定义为

)」器—+占+(t - s -1戸,0 r(”-i)-(b+”-i)g，(t,s) E [v — 1,v + b —(v+b-2')V 21]N”_i x [0, b]No ,⑵ “iz?-叽_i 弘s) > 豊iv-bbZ：2乓 > °,s e [0, b]No-

引理 1.7 令 0(t + v — 1) = (v + b — t — 2)\"-2, t E [0, b]^o, 0*(t) = (2v + b — t — 3)\"-2, t E [v — 1,v + b — 1]nv_i，从而对任意的 s E [0,b]No,我们有

b+v-iKi0*(s) < \" G(t, s)0* (t) < K20*(s),t=v-i(1.7)其中Kit=0r(v)0(t + v — 1)

r(v — 1) — (b + v — 1)v-i,b -K2工1+t=0 Lr(v — 1) — (b + v — 1)v-2- (v + b)v-i0(t + v — 1)

r(v — 1) — (b + v — 1)v-2(v + b — 2)V-2证根据0,0*的定义，我们有

b+v-ib工 G(t,s)0*(t)=二 G(t + v ― 1, s)0(t + v ― 1), s E [0, b]No -t=v-it=0No.1徐家发：具有半正非线性项的分数阶差分方程组边值问题的正解135从而根据引理1.6,对任意的s E [0, b]No,我们可以得到如下的不等式b

bG(t+v -1, s)0(t+v -1) >

t=0

t=0r(v)0(t + v — 1)

• 0(s + v — 1)r(v — 1) — (b + v — 1)v-i(1.8)Ki0*(s)和bG(t + v - 1, s)0(t + v - 1)t=0b -<工1+t=0 Lr(v — 1) — (b + v — 1)v-2- (v + b)v-i0(t + v — 1)

• 0(s + v 一 1)(v + b - 2)V-2r(v -1) - (b + v - 1)v-2(1.9)K20*(s).证毕. I令E是从[v - 1,v + b - 1]N”_1到实数集R上的全体映射构成的集合，并在其上赋予最 大模范数 ||x|| =max{|x(t)| : t E [v — 1,v + b - 1]n”_i}.则(E, )是一 Banach 空间.定义集合P = {x E E : x(t) > 0, t E [v — 1, v + b — 1]nv_1 },P0x E E : x(t) > — l|x||, t E [v — 1, v + b — 1]nv_1

«2则P, P0均是E上的锥.若x E P,定义如下算子1 b(Lx)(t)=二 )G(t, s)x(s + v 一 1), (t, s) E [v 一 1, v + b 一 1]Nv_1 x [0, b]No ,(v) s = 0则可得以下的引理.引理 1.8 对任意的 t E [v — 1, v + b - 1]n”_1 , L(P) C P0.证 根据引理1.6,对任意的t E [v - 1,v + b - 1]n”_1 ,我们有(Lx)(t) < 而工 1 +1 b 一' 丿 s=0 Lr(v — 1) — (b + v — 1戸'(v + b)^-i0(s + v — 1)x(s + v — 1)(v + b — 2)V-2 r(v — 1) — (b + v — 1戸另一方面，对任意的t E [v - 1,v + b - 1]n”_1 ,我们可得到(L )(t) > 1 r(v)0(s + v 一 1)x(s + v 一 1)()(t) > 而若 r(v — 1)— (b + v — 1)—[1 + r(v-(V)；b(-+^ ]-i r(v)b -r(v — 1) — (b + v — 1)v-2-

- r(v)(v + b)— 若[1 +(v + b - 2)v-l (v + b)^-^0(s + v — 1)x(s + v — 1)x r(v - 1) - (b + v - 1)v-2[1 + r(v-(V+b(-y ]-i r(v)-

> —llLx|-(v + b)V-l

K211 11136数学物理学报Vol.40A证毕.定义w是以下分数阶差分方程边值问题的解△vw(t) = M,t G [0,b]No,

w(v — 2) = 0, ^w(v — 2) = Aw(v + b — 1),(1.10)其中1 w(t) < 而工1+ r(v -1) - (b + v - 1)v-2 = r(v)'(v + b - 2)V-2s = 0 -b -

因此，若x G Po,则对任意的t G [v - 1,v + b - 1]n”_i，当||x|| > 冷！时，我们有

X(t) - W(t) > 律闊-涪 > 0-(1.⑵我们将问题(1.4)做如下变形△vx(t) = f (t + v — 1, max{x(t + v — 1) — w(t + v — 1), 0}) + M, t G [0, b]^o,

x(v — 2) = 0, △x(v — 2) = △x(v + b — 1),其中w由(1.11)式定义.关于问题(1.4)和(1.13),我们有如下引理.弓|理1.9 (1)若w和x分别是问题(1.10)和(1.13)的解，并且对任意的t G [0, b]No, 有 x(t + v - 1) - w(t + v - 1) > 0,则 x - w 是问题(1.4)的正解.(2)若x是问题(1.4)的正解，则x + w是问题(1.13)的正解.由此可知我们仅需要找寻问题(1.13)超过w的解，并且注意到(1.12)式的计算，又可 知该解的范数超过 ML即可.定义算子A : E t E如下(Ax)(t) = £ 单，？ [f (s + v - 1, max{x(s + v - 1) - w(s + v - 1), 0}) + M],幺 r(v)t G [v — 1,v + b — 1]NV-1 -由引理1.5知，问题(1.13)解的存在性等价于算子A不动点的存在性.并且根据引理1.8的 证明，引理 1.6 和条件(C1)'知，A(P) c P,A(P) C Po.JIS 1.1OM 设E为实Banach空间，P为E中的锥，0是E中的有界开集， A ：0 n P t p是一全连续算子.若存在xo G P\\{0}使得x = Ax + 入xo, Vx G dQ n P, A > 0,则i(A, Q n P, P)=0,其中i为锥P上的不动点指数.

引理1.11[i6〕设E为实Banach空间，P为E中的锥，Q是E中的有界开集，0 G Q,A : Q n P t P是一全连续算子.若x = AAx, Vx G dQ n P, A G [0,1],则 i(A, Q n P, P) = 1.No.1徐家发：具有半正非线性项的分数阶差分方程组边值问题的正解1372主要结论根据第1节的讨论知，我们需要将问题(1.1)做如下变形△vx(t) = fi(t + v — 1, max{x(t + v — 1) — w(t + v — 1), 0},

max{y(t + v — 1) — w(t + v — 1), 0}) + M,t E [0, b]No,△vy(t) = f2(t + v — 1, max{x(t + v — 1) — w(t + v — 1), 0},

max{y(t + v — 1) — w(t + v — 1), 0}) + M,t E [0, b]No,

(2.1)x(v — 2) = 0, ^x(v — 2) = ^x(v + b — 1),、 y(v — 2) = 0, △\"(v — 2) = △\"(v + b — 1).为方便计，以下简记fi(t + v — 1,x(t + v — 1), y(t + v — 1)) = fi(t + v — 1, max{x(t + v — 1) — w(t + v — 1), 0},max{y(t + v — 1) — w(t + v — 1), 0}) + M, t E [0, b]^o, i = 1, 2.

从而fi*(t,x(t),y(t)) = fi(t, max{x(t) — w(t), 0},max{y(t) 一 w(t), 0}) + M, t E [v 一 1, v + b 一 1]nv_1 , i = 1, 2.

根据引理1.5,我们可以将(2.1)式转化为如下的和式x(t)=力

s=0

jf*(s+v 一1, x(s+v 一(v)1), y(s + v - 1)), t E [v - 1,v + b - 1]Nv_1(2.2)y(t)=力

s=0

(v)f2(s+v 一1, x(s+v 一1), y(s + v 一 1)), t E [v 一 1,v + b 一 1]Nv_1定义算子Ti : P x P T P, T : P x P T P x P如下=力j 于：(s+v 一1, x(s+v 一1), y(s+v 一1)),

ii(x,y)(t)=s=0 (v)t E [v 一 1,v + b 一 1]NV_1, i = 1, 2和T(x,y)(t) = (Ti,T2) (x,y)(t),t E [v — 1, v + b — 1]Nv_1 -根据第1节的讨论知，算子T不动点的存在性等价于方程组(2.1)解的存在性.再根

据引理 1.9,若(x,y)是 T 的不动点且 x(t) > w(t),y(t) > w(t),t E [v — 1, v + b - 1]隠_1,则 (x - w,y - w)是方程组(1.1)的正解•从而接下来的任务是在合适的条件下找寻算子T范 数超过册V)的不动点.为简便记，我们使用di,d2, •••表示不同的正实数(在后面的证明过程中不具体计算出 来)，接下来给出非线性项满足的增长性条件(C2)存在函数p,q E C(R+,R+)和常数Yi > 罟,di > 0使得(i) p是R+上的严格增的凹函数，且lim p(y) = +x,yT+x138数学物理学报Vol.40A(ii) f*(t,x,y) > p(y) -di,f2(t,x,y) > q(x) -di, V(t,x,y) G [v-1, v + b- 1]n”_i xR+ xR+,P(C3) fi (t, x, y) <

> 希Yi x - di, Vx G R+., V(t, x, y) G [v - 1, v + b - 1]N”—1 x [0, “寓；)]xk21, 2.(C4)存在函数e,n G C(R+,R+)和常数Y2 G(0,兽),d2 > 0使得(i) e是R+上的严格增的凸函数，且lim g(y) = +x;(ii) fi (t,x, y) < e(y),f2(t,x,y) < n(x), V(t,x,y) G [v - 1, v + b - 1]隠_i x R+ x R+,e<「「、Y2x + d2, x G R+.

r(v)(C5) f*(t,x, y) > 晋,V(t,x, y) G [v - 1, v + b - 1]n”_i x [0,

x [°,「c m^2,i =1, 2.例 2.1 令 p(y) = y5, q(x) = x2, x, y G R+.则plim —(r(V)q(x))lim债丄4x — + x

xx—x+x,从而P, q满足条件(C2).另一方面，选取ff, f2如下ff (t, x, y)1r(vW Mk2^i + e sin tx 他 y, f (t, x, y) _ 02 + e cos K2 \\ki『(v)i—角x©3其中 0i > 0,02 > 0,03 > 2, (t,x,y) G [v - 1,v + b - 1]n”_i x R+ x R+.下证 ff,f2 满足条件 (C2)(ii)和(C3).若(t, x,y) G [v -1, v + b - 1]n”—i x [0,黑：；)]x [0, ktf(S)]，则MK2 f*(t ) < r(v) ( Mk2 \\i—朋ff(t,x,y) < r(v) MK2K2 k ir(v)—二T,f2 (t,x,y) <3T (石帀)丿Mk2Mk2Ki『(v)K i则条件(C3)成立.另一方面____i_比 ylim inf fi (t；x,y) = lim inf 0i+』sln tx K24y—+x p(y) y—+xy5=+^^?(t, x) G [v — 1, v + b — 1]nv_i x R+,]..f f2(t, x, y) 他+ehty 晋\" x仇lim inf------------ =lim inf-------------------------------------------xt+x q(x) xt+x x2=+X?

(t, y) G [v — 1, v + b — 1]nv_i x r+.从而条件(C2)(ii)成立.

例 2.2 令 e(y) = y2, n(x) = ln(x + 1), x,y G R+.则e (尙\"(x))x — + x

lim (齡 A 山维 +1) =0,x— +x

limx\"x从而e,n满足条件(C4)•另一方面，选取ff,f2如下

ff (t, x, y)eKir(v) + 04 + | sintx| e-ymk2

、No.1徐家发：具有半正非线性项的分数阶差分方程组边值问题的正解139f2 (t,x,y)e其中 04, 05 > 0, (t, x,y) E [v - 1,v + b - 1]nv_1 x R+ x R+•下证 ff, f2 满足条件(C4)(ii)和 (C5)若(t,x,y) e [v 一1, v+b 一 1]Nv_1x [0, k!T：v)] x [0, k!T：v)],则fi (t, x, y) > ——y2e K1「(v)e y > ——y2e K1「(v)e K1「(v)k?

k?* 、 Mk? Mk2

、 MMk? Mk2

Mk，2Mk? _____Mk?

Kif? (t, x, y) > —??e K1「(v)e x > —」e K1「(v)e K1「(v)k?

k?*

M k2 _______M k2Mk? _

Mk?

Ki则条件（C5）成立.另一方面fi (t,x,y)lim sup―——— yT+x E(y)「

e K1r(v) + 04 + | sin tx| ) e-ymk2 \\limsup

yT+x

y?0, (t, x) E [v — 1, v + b — 1]nv_1 x R+,]•

f2 (t,x,y)e K1r(v) + 05 + | costy| ) e-x

lim sup ——— xt+x n(x)limsupxt+x

ln(x +1)0, (t, y) E [v 一 1, v + b 一 1]nv_1 x r+.从而条件(C4)(ii)成立.定义 E 中的开球 Bp = {x E E : ||x|| 0.定理2.3若条件(C1)-(C3)成立，则差分方程组(1.1)至少有一个正解. 证第一步证明存在R> ML使得(x, y) = T(x, y) + 入(x°, x°), V(x, y) E OBr n (P x P), A > 0,

(2.3)其中x0 E P0是一给定的函数•反证法，若上式不成立,则存在(x,y) E OBrn(P x P),A > 0使 得(x,y) = T(x, y)+A (x0,x0),从而 x(t) > Ti(x, y)(t), y(t) > T?(x, y)(t),t E [v—1, v+b—1]n”-i. 根据条件(C2)(ii),我们有

x(t) > Ti(x,y)(t) > 工

s=0

[p(y(s + v — 1) — w(s + v — 1)) — di](v)> 工 K)p(y(s + v — 1) — w(s + v — 1)) — d3s=0

(v)[p(y(s + v — 1)) — p(w(s + v — 1))] — d3> 工

s=0

(v)jp(y(s + v 一 1)) 一 d4, t E [v 一 1, v + b 一 1]Nv_1>

s=0

(v)(2.4)和y(t) > t?(x, y)(t) > j[q(x(s+v 一1) 一w(s+v 一1)) 一 di]

s=0

(v)

(2.5)>s=0符q(x(s+v -1) -w(s+v -1)) 一d3,t E [v 一1,v+b 一1]—140数学物理学报Vol.40A注意到土 卅 < rr?), Vt E [v - 1,v + b - 1]n”_1 .从而根据(2.5)式和条件(C2)(ii),对任意s = 0的t E [0, b]No,我们可以推出p(y(t + v - 1)) + p (d3)> p (y(t + v - 1)+ d3)> p' E °) D q(x(s + v - 1) - w(s + v - 1))

_s=0

r(v)(v)

_二 G(t + v-1,s) k? k? z z , 1、、p'X——PFT5q(x(s + v —1) — w(s + v —1)) 合 r(r(v)v) rr ? 2 rr(v)(v) v — (而 K? q(,x +v 一1) 、 +v 一1))、、> 若 G(t +rv 1, s) r(v)p ((,s一w(/sr(v)>

s=0G(t + v — 1, s) r(v)r(v) r(v)Yi(x(s + v —1) 一 w(s + v —1)) 一 d5G(t + v — 1, s)------------—r(v)s + v — 1) — w(s + v — 1)) — d5> Yi”

s=0G(t + v — 1, s)> Yi 力----TT77-----■ x(s + v - 1) - d6.s=0r(v)从而可得p(y(t + v — 1)) > Yi

s = 0( _T( v 八_■_-x(s + v — 1) 一 d7, Vt E [0, b]No -r(v)因此，将上式带入(2.4)式可得x(t) > e

s=0

jp(y(s+v -1)) - d4(v)r(v)G(t,s)「G(s + v — 1, T) x(T+v—八 丁 ,4>若冷卜若丄亍―1) 一 d7「d> Yi 力 r() 力----rTT)------■ x(t + v — 1) — d8,t E [v — 1, v+ b — 1]Nv_1. (2.6)r(v)s=0 (v) T=0将(2.6)式两边分别乘以0*(t)并从v— 1到v + b - 1求和，借助不等式(1.7)和(1.8),可得v+b-1£ x(t)0*(t) >工0*(t)筑工,(加丿工Z 曽讣 E G(s +( — 1,T) x(T + v - 1) - d8

r(v)t=v—i t=v—i _ ts = 0 (丿 丁=0bv+b-i> r ) k1 x(t + v -1)0(t + v -1) - d9(v) t=0? v+b-i=氏；)『叭亡)0*(t) 一 d9.()t=v-iNo.1徐家发：具有半正非线性项的分数阶差分方程组边值问题的正解141由于 Ti(P, P) C Po, xo G Po,则 x G Po.从而v+b—i

律岡 t=v—i 由此解得欢(t) < t—g 0且p(||y||) > 0.再根据函数p的凹性，我们 有v+b—i

v+b—i计冏ti—必)< ’j—i y(t)“f (t)<

pw t=E i颂旳心(t)v+b— ilyl 1 y(t) (II ll\"(*t)|y|< p(Iyl)t=v— i工 p(y(t))Q*(t)-在(2.6)式两边乘以Q*(t)并从v - 1到v + b - 1求和，借助不等式(1.7)可得v+b― i

t=v— i

(x(t)+d4)Q*(t)>

v+b―】 b G(t )Q*(t)t『(；；\"p(y(s+v ―1))t=v—i

s=o ()b>

工 p(y(t + v ― 1))^(t + v ―1)(v) t=ov+b— i=工 p(y(t))Q*(t).()t=v—i结合上述两个不等式，我们可得p(|y|) <邑v+b—i

—i v+b—iK2 t=v—i必)

工 p(y(t))必)t=v— iv+b—i

<严b (t)v+b—i

i X v+b—〔r(v)K〔 t=v—i—i(x(t) + d4)0* (t)

v+b—i

2 t=v—i

<邑K2 t=v—i必)

r(v)K idg『2(v)Y i K - r2(v)—i竺必) K2 t=v—i)v+b—i0*(t).t=v—i根据条件(C2)(i), lim p(z) = +〜因此存在M2 > 0使得||y|| < M2.z— +x综上所述||x|| < Mi, ||y|| < M2.取R > max{ML, Mi, M2}使得(2.3)式成立.从而根

(2.7)据引理1.10可知i (T, Br n (P x P), P x P) = 0.

第二步证明(x, y) = AT(x, y), V(x, y) G dB㊀ n (P x P)，入 G [0,1],

(2.8)142数学物理学报Vol.40A其中◎ = KM备.反证法，若上式不成立，则存在(x,y) E dBe n (P x P),A0 E [0,1]使得

(x,y) = A0T(x,y).这表明x(t) < Ti(x,y)(t),y(t) < T?(x,y)(t),t E [v - 1, v + b - 1]n”_1 .从而||x||<||Ti(x,y)|| ,||y||<||T?(x,y)|| .

(2.9)然而根据条件(C3),我们有

Ti(x,y)(t)==E

s = 0

[fi(s + v - 1,x(s + v - 1),y(s + v - 1)) + M](v)G(t, s) r(v) Mk? Mk?r(v) k? Kir(v) < Kir(v) ML,则

(x - w,y - w)是问题(1.1)的一个正解•证毕.

I定理2.4若条件(C1), (C4)-(C5)成立，则差分方程组(1.1)至少有一个正解.证第一步证明存在R > ML使得(x, y) = AT(x, y), V(x,y) E OBr n (P x P), A E [0,1].

(2.11)反证法.若上式不成立，则存在(x, y) E OBr n (P x P), A0 E [0,1]使得(x, y) = A°T(x, y).从 而，我们有

x(t) < Ti(x,y)(t),y(t) < T?(x,y)(t),t E [v - 1, v + b - 1]n”_1 .根据条件(C4)(ii)我们可得x(t) < E

s=0

g(y(s + v —1) — w(s + v —1))(v)< E

s=0

[g(y(s + v 一 1)) 一 g(w(s + v 一 1))](v)< e

s=0

j g(y(s+v 一1)), t e [v 一1, v+b 一 1]^^_1(v)(2.12)和y(t) < E 豐n(x(s + v ―

s=0 (v)1) — w(s + v — 1)), t E [v — 1, v + b — 1]nv_1⑵13)No.1徐家发：具有半正非线性项的分数阶差分方程组边值问题的正解143从而，对任意的t E [0, b]No,我们有

e(y(t + v -1)) < eE&(片；)Dn(x(s + v ― 1) ― w(s + v ― 1)),s=0

r(v)(v)

_.G(t + v — 1, s) r(v) k? ,, . , ..=e 力—亍--------n(x(s + v - 1) 一 w(s + v -1))

合 r(v) kk?? r(r(v)v)r(v)m< E

r(v)罟 e (能 n(x(s + v - 1) - w(s + v - 1))<

s=0G(t + v — 1, s) r(v)r(v)k? Lr(v)Y?(x(s + v - 1) 一 w(s + v - 1)) + d?

< Y?力---s=0G(t + v — 1,s) / .------■ x(s + v - 1)+ di0.r(v)ro(2.14)结合(2.12)式，我们可推出丄 G(t, s) Y2 E G(s +( — 1,T) x(T + v - 1) + di0x(t) <工治—r(v)s = 0 ' 丿bT = 0r(v)ii,t E [v - 1,v + b - 1]Nv_1.

< y?工治 E G(s +( — 1,T)x(T + v - 1) + d

r(v)s = 0(v) T=0在上式两边乘以0*(t)并从v — 1到v + b - 1求和，借助不等式(1.7)和(1.9)可得v+b-i

b G(t, s) G(s + v — 1, t)力 x(t)0*(t) < 力 0*(t) Y?力 x(t + v - 1) + diir(v)r(v)t=v-i t=v-i _s=0 ' 丿 T=0? v+b-iv+b-i< Y?r 2(% y? x(t)0*(t)+ dii 力 0*(t).()t=v-i t=v-iv+b-i注意到Ti(P,P) C P0,则x E P0.从而由上式可解得v+b-i1 - Y?E 0*(t).t=v-i解该不等式得在(2.14)式两边乘以0* (t)并从v — 1到v + b - 1求和，借助不等式(1.7)和(1.9)可得v+b-1「 E G(t, s) x(s + ,, 1) , d

y? e(y(t))0*(t)< y?0*(t) y?力二：)丿x(s+v -1)+di0一 r(v) x(八\"1八 di0t=v-iv+b-it=v-iL s=0

v+ b-i

' 丿 _|v+b-i< y? 工 x(t)0*(t) + di0 \" 0*(t)()t=v-i

t=v-i< Y?dii帀k?

v+b-i1 - Y?+ di0

t=v-i0*(t).144数学物理学报Vol.40A注意到T2(P, P) c Po,则y G Po.从而根据函数e的严格增长性，我们有

v+b— i+di o

t=v— i0*(t),+ di o.综上所述 ||x|| < M3, ||y|| < M4.取 R > max{此，结合引理1.11可得ML,M3,M4}使得(2.11)式成立.由(2.15)i (T, Br n (P x P), P x P) = 1.第二步证明(x, y) = T(x, y) + A (xo, xo), V(x, y) G dB㊀ n (P x P)，入 > 0,

(2.16)其中xo G P是一给定的函数，0 = kMKt).反证法.若上式不成立，则存在(x, y) G dB㊀n (P x P), Ao > 0使得(x, y) = T(x, y) +

Ao(xo,yo).这表明x(t) > Ti(x,y)(t),y(t) > T2(x,y)(t),t G [v - 1, v + b - 1]n^_i •因此|x||>||Ti(x,y)|| ,||y||>||T2(x,y)|| .

(2.17)然而根据条件(C5)，对任意的t G [v - 1, v + b - 1]n”_i ,我们有

Ti (x,y)(t)==工

s=o

[f*(s + v - 1,x(s + v - 1),y(s + v - 1)) + M](v)0(s + v - 1)

r(v -1) - (b + v - 1)v—2>s=o0(s + v - 1)

r(v -1) - (b + v - 1)v—2Mk2

k i r(v)Mk2

k i r(v)

||x||.这表明||Ti(x,y)|| > ||x||.同理可证||T2(x,y)|| > ||y||.这与(2.17)式矛盾.矛盾表明(2.16)式 成立.由引理1.10可得i (T, B@ n (P x P), P x P) = 0. (2.18)根据(2.15)和(2.18)式可知i (T, (Br\\B㊀)n (P x P), P x P) = 1 - 0 = 1.因此算子T在(Br\\B0) n (P x P)中至少有一个不动点(x,y),又由于||x||, ||y|| > ML,则

(x - w,y - w)是问题(1.1)的一个正解•证毕.

INo.1徐家发：具有半正非线性项的分数阶差分方程组边值问题的正解145参考文献[1] 郑祖麻•分数微分方程的发展和应用.徐州师范大学学报，2008, 26(2): 1-10Zheng Z X. On the developments and applications of fractional differential equations. J of Xuzhou Normal

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Positive solutions.MR(2010) Subject Classification: 39A12; 39A10; 34B09