于田县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 函数A.{x|1<x≤4}
B.{x|1<x≤4,且x≠2}
的定义域为( )
C.{x|1≤x≤4,且x≠2} D.{x|x≥4}
2. 若命题p:∃x0∈R,sinx0=1;命题q:∀x∈R,x2+1<0,则下列结论正确的是( )
A.¬p为假命题 B.¬q为假命题 C.p∨q为假命题 D.p∧q真命题
3. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出的茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )
A.甲 B.乙 C.甲乙相等 D.无法确定
B.必要不充分条件
4. 若函数f(x)的定义域为R,则“函数f(x)是奇函数”是“f(0)=0”的( ) A.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为( )
A.(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣1,1) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
6. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( ) A. 2 B.4 C.
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【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量,重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用,难度中等.
7. 下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( ) A.
B.y=﹣2x+5
C.y=lnx
D.y=
8. 已知集合A={0,1,2},则集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}的元素个数为( ) A.4
B.5
C.6
D.9
D.[﹣9,1)
9. 已知函数f(x)=lg(1﹣x)的值域为(﹣∞,1],则函数f(x)的定义域为( ) A.[﹣9,+∞) B.[0,+∞) C.(﹣9,1)
10.已知e为自然对数的底数,若对任意的x[,1],总存在唯一的y[1,1],使得lnxx1aye 成立,则实数a的取值范围是( )
A.[,e] B.(,e] C.(,) D.(,e)
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性,函数的最值的关系,函数与方程的关系等基础知识,意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力.
11.已知抛物线C:y8x的焦点为F,P是抛物线C的准线上的一点,且P的纵坐标为正数,
21e2y1e2e2e2e1eQ是直线PF与抛物线C的一个交点,若PQ2QF,则直线PF的方程为( )
A.xy20 B.xy20 C.xy20 D.xy20 12.已知x,y满足A.1
B.
C.
,且目标函数z=2x+y的最小值为1,则实数a的值是( ) D.
二、填空题
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13.设函数f(x)=
①若a=1,则f(x)的最小值为 ;
,
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 .
2214.已知直线:3x4ym0(m0)被圆C:xy2x2y60所截的弦长是圆心C到直线的距离的2倍,则m . 15.以点(1,3)和(5,﹣1)为端点的线段的中垂线的方程是 . 16.设函数
,若用表示不超过实数m的最大整数,则函数的值域为 .
17.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费用为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元. 18.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试,考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况.四名学生回答如下:
甲说:“我们四人都没考好.” 乙说:“我们四人中有人考的好.” 丙说:“乙和丁至少有一人没考好.” 丁说:“我没考好.”
结果,四名学生中有两人说对了,则这四名学生中的 两人说对了.
三、解答题
19.对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆D,同时满足: ①f(x)在[m,n]内是单调函数;
②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n]. 则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
2
(1)证明:[0,1]是函数y=f(x)=x的一个“和谐区间”.
(2)求证:函数(3)已知:函数最大值.
不存在“和谐区间”.
(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当a变化时,求出n﹣m的
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20.已知集合A={x|x2+2x<0},B={x|y=(1)求(∁RA)∩B;
(2)若集合C={x|a<x<2a+1}且C⊆A,求a的取值范围.
21.平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ. (1)写出圆C1的普通方程及圆C2的直角坐标方程;
(2)圆C1与圆C2是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交请说明理由.
22.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<(1)求f(x)的解析式;
)的一段图象如图所示.
(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴正半
}
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(2)求f(x)的单调减区间,并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合;
(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数.
23.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70
(1)画出散点图; (2)求线性回归方程;
(3)预测当广告费支出7(百万元)时的销售额.
24.(本小题满分12分)已知A2,1,B0,2且过点P1,1的直线与线段AB有公共点, 求直 线的斜率的取值范围.
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于田县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】解:要使函数有意义,只须
,
即,
解得1<x≤4且x≠2,
∴函数f(x)的定义域为{x|1<x≤4且x≠2}. 故选B
2. 【答案】A 【解析】解:∴∃x0∈R,sinx0=1; ∴命题p是真命题;
22
由x+1<0得x<﹣1,显然不成立;
时,sinx0=1;
∴命题q是假命题;
∴¬p为假命题,¬q为真命题,p∨q为真命题,p∧q为假命题; ∴A正确. 故选A.
2
【点评】考查对正弦函数的图象的掌握,弧度数是个实数,对∀∈R满足x≥0,命题¬p,p∨q,p∧q的真假和
命题p,q真假的关系.
3. 【答案】A
【解析】解:根据茎叶图中的数据可知,甲地的数据都集中在0.06和0.07之间,数据分别比较稳定, 而乙地的数据分布比较分散,不如甲地数据集中, ∴甲地的方差较小. 故选:A.
【点评】本题 考查茎叶图的识别和判断,根据茎叶图中数据分布情况,即可确定方差的大小,比较基础.
4. 【答案】A
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【解析】解:由奇函数的定义可知:若f(x)为奇函数, 则任意x都有f(﹣x)=﹣f(x),取x=0,可得f(0)=0;
2
而仅由f(0)=0不能推得f(x)为奇函数,比如f(x)=x,
显然满足f(0)=0,但f(x)为偶函数.
由充要条件的定义可得:“函数f(x)是奇函数”是“f(0)=0””的充分不必要条件. 故选:A.
5. 【答案】A
【解析】解:令F(x)=f(x)﹣2x﹣1, 则F′(x)=f′(x)﹣2,
又∵f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2, ∴F′(x)=f′(x)﹣2<0恒成立,
∴F(x)=f(x)﹣2x﹣1是R上的减函数, 又∵F(1)=f(1)﹣2﹣1=0,
∴当x>1时,F(x)<F(1)=0,即f(x)﹣2x﹣1<0, 即不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞); 故选A.
【点评】本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用,属于中档题.
6. 【答案】B
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7. 【答案】C
【解析】解:对于A,函数y=
在(﹣∞,+∞)上是减函数,∴不满足题意;
对于B,函数y=﹣2x+5在(﹣∞,+∞)上是减函数,∴不满足题意;
对于C,函数y=lnx在(0,+∞)上是增函数,∴满足题意; 对于D,函数y=在(0,+∞)上是减函数,∴不满足题意.
故选:C.
【点评】本题考查了基本初等函数的单调性的判断问题,是基础题目.
8. 【答案】B
【解析】解:①x=0时,y=0,1,2,∴x﹣y=0,﹣1,﹣2; ②x=1时,y=0,1,2,∴x﹣y=1,0,﹣1; ③x=2时,y=0,1,2,∴x﹣y=2,1,0; ∴B={0,﹣1,﹣2,1,2},共5个元素.
故选:B.
9. 【答案】D
【解析】解:函数f(x)=lg(1﹣x)在(﹣∞,1)上递减, 由于函数的值域为(﹣∞,1], 则lg(1﹣x)≤1, 则有0<1﹣x≤10, 解得,﹣9≤x<1. 则定义域为[﹣9,1), 故选D.
【点评】本题考查函数的值域和定义域问题,考查函数的单调性的运用,考查运算能力,属于基础题.
10.【答案】B
【
解
析
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】
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11.【答案】B 【
解
析
】
考点:抛物线的定义及性质.
【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项:(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值,但首先要判断抛物线是否为标准方程,若是标准方程,则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程.(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题.(3)直线与抛物线有一个交点,并不表明直线与抛物线相切,因为当直线与对称轴平行(或重合)时,直线与抛物线也只有一个交点. 12.【答案】B
【解析】解:由约束条件
作出可行域如图,
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由图可知A(a,a),
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z,
由图可知,当直线y=﹣2x+z过A(a,a)时直线在y轴上的截距最小,z最小,z的最小值为2a+a=3a=1,解得:a=. 故选:B.
【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
二、填空题
13.【答案】
【解析】解:①当a=1时,f(x)=
x
当x<1时,f(x)=2﹣1为增函数,f(x)>﹣1,
22
当x>1时,f(x)=4(x﹣1)(x﹣2)=4(x﹣3x+2)=4(x﹣)﹣1,
≤a<1或a≥2 .
,
当1<x<时,函数单调递减,当x>时,函数单调递增, 故当x=时,f(x)min=f()=﹣1,
②设h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a) 若在x<1时,h(x)=与x轴有一个交点,
所以a>0,并且当x=1时,h(1)=2﹣a>0,所以0<a<2,
而函数g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有一个交点,所以2a≥1,且a<1, 所以≤a<1,
若函数h(x)=2﹣a在x<1时,与x轴没有交点,
x
则函数g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有两个交点,
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当a≤0时,h(x)与x轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去),
当h(1)=2﹣a≤0时,即a≥2时,g(x)的两个交点满足x1=a,x2=2a,都是满足题意的, 综上所述a的取值范围是≤a<1,或a≥2.
14.【答案】9 【解析】
考点:直线与圆的位置关系
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,属于基础题型,涉及一些最值问题,当点在圆的外部时,圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径,当点在圆外,可做两条直线与圆相切,当点在圆上,可做一条直线与圆相切,当点在圆内,过定点做圆的弦时,过圆心即直径最长,当定点是弦的中点时,弦最短,并且弦长公式是l2R2d2,R是圆的半径,d是圆心到直线的距离.
15.【答案】 x﹣y﹣2=0 .
【解析】解:直线AB的斜率 kAB=﹣1,所以线段AB的中垂线得斜率k=1,又线段AB的中点为(3,1),
所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0, 故答案为x﹣y﹣2=0.
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法,此外,本题还可以利用线段的中垂线的性质(中垂线上的点到线段的2个端点距离相等)来求中垂线的方程.
16.【答案】 {0,1} . 【解析】解:=[=[﹣∵0<
﹣]+[
]+[<1,
+] +],
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∴﹣<﹣①当0<0<﹣故y=0; ②当﹣故y=1; ③<﹣<﹣
<,<<时, <,<
+<,
+<1,
+<,
的值域为{0,1}.
=时, =0,
+=1,
<1时,
<0,1<
故y=﹣1+1=0; 故函数
故答案为:{0,1}.
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用.
17.【答案】2300 【解析】111]
x0y0试题分析:根据题意设租赁甲设备,乙设备,则,求目标函数Z200x300y的
5x6y5010x20y140最小值.作出可行域如图所示,从图中可以看出,直线在可行域上移动时,当直线的截距最小时,取最小值2300.
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1111]
考点:简单线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目,可以采用线性规划的知识进行求解;细查题意,设甲种设备需要生产天,乙种设备需要生产y天,该公司所需租赁费为Z元,则Z200x300y,接下来列出满足条件的约束条件,结合目标函数,然后利用线性规划的应用,求出最优解,即可得出租赁费的最小值. 18.【答案】乙 ,丙
【解析】【解析】
甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果选丁正确,则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确。故答案为:乙,丙。
三、解答题
19.【答案】
【解析】解:(1)∵y=x在区间[0,1]上单调递增.
2
又f(0)=0,f(1)=1, ∴值域为[0,1],
∴区间[0,1]是y=f(x)=x的一个“和谐区间”.
2
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集.
∵x≠0,[m,n]⊆(﹣∞,0)或[m,n]⊆(0,+∞), 故函数
在[m,n]上单调递增.
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若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则故m、n是方程
的同号的相异实数根.
2
∵x﹣3x+5=0无实数根,
∴函数不存在“和谐区间”.
(3)设[m,n]是已知函数定义域的子集.
∵x≠0,[m,n]⊆(﹣∞,0)或[m,n]⊆(0,+∞), 故函数
若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则故m、n是方程∵
,
在[m,n]上单调递增.
222
,即ax﹣(a+a)x+1=0的同号的相异实数根.
2
∴m,n同号,只须△=a(a+3)(a﹣1)>0,即a>1或a<﹣3时,
已知函数有“和谐区间”[m,n], ∵
∴当a=3时,n﹣m取最大值
20.【答案】
2
【解析】解:(1)A={x|x+2x<0}={x|﹣2<x<0},
,
B={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1},
∴∁RA={x|x≤﹣2或x≥0}, ∴(∁RA)∩B={x|x≥0};…
(2)当a≥2a+1时,C=∅,此时a≤﹣1满足题意; 当a<2a+1时,C≠∅, 应满足
,
解得﹣1<a≤﹣; 综上,a的取值范围是
.…
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21.【答案】
【解析】解:(1)由圆C1的参数方程为x2﹣4x+y2=0.
222
由圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ,化为ρ=4ρsinθ,∴直角坐标方程为x+y=4y.
22
(φ为参数),可得普通方程:(x﹣2)+y=4,即
(2)联立,解得,或.
∴圆C1与圆C2相交,交点(0,0),(2,2). 公共弦长=
.
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角方程、两圆的位置关系、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
22.【答案】
【解析】解:(1)由函数的图象可得A=3, T=再根据五点法作图可得×(2)令2kπ﹣k∈z.
≤x﹣
=2kπ+
+φ=0,求得φ=﹣≤2kπ+
=4π﹣
,解得ω=.
],
,∴f(x)=3sin(x﹣).
,k∈z,求得 5kπ﹣π≤x≤5kπ+
,即 x=5kπ+
,故函数的增区间为[5kπ﹣π,5kπ+
函数的最大值为3,此时, x﹣时x的集合为{x|x=5kπ+
,k∈z,即f(x)的最大值为3,及取到最大值
,k∈z}.
(3)设把f(x)=3sin(x﹣y=3sin(x+
)].
=x+
)的图象向左至少平移m个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数[即
)=3cosx 的图象.
则由(x+m)﹣,求得m=π,
把函数f(x)=3sin(x﹣)的图象向左平移π个单位,可得y=3sin(x+
【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的单调性和最值,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.
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23.【答案】
【解析】解:(1)
(2)
设回归方程为=bx+a 则b=
﹣5
/
﹣5
=1380﹣5×5×50/145﹣5×52=6.5
故回归方程为=6.5x+17.5
(3)当x=7时, =6.5×7+17.5=63,
所以当广告费支出7(百万元)时,销售额约为63(百万元). 这是解答正确的主要环节.
24.【答案】k3或k2. 【解析】
【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用,本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数,
试题分析:根据两点的斜率公式,求得kPA2,kPB3,结合图形,即可求解直线的斜率的取值范围.
11122,kPB3 1210所以,由图可知,过点P1,1的直线与线段AB有公共点,
试题解析:由已知,kPA所以直线的斜率的取值范围是:k3或k2.
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考点:直线的斜率公式.
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