２０１２年２月 渭南师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｗｅｉｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｎｉｔｙ Ｆｅｂ．２０１２ ＶｏＩ．２７ Ｎｏ．２ 第２７卷第２期 广义Ｌｕｃａｓ数列的求和公式 陈小芳 （渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南７１４０００） 摘要：Ｅｈ－－－次线性递推公式所定义的Ｌｕｃａｓ数列．［Ｆ ）在数学的理论研究中有重要的作用，不少学者对这个数列的一 些特征进行了深入细致的研究．本文在已有的有关广义Ｌｕｃａｓ数列相关定理的基础上进一步推广，给出了更为广泛的广义 Ｌｕｃａｓ数列的求和公式，采用了递推归纳的方法证明． 关键词：Ｌｕｃａｓ数列；归纳；求和公式 中图分类号：Ｏ１５６．２ 收稿日期：２０ｌｌ—ｌ２—１９ 文献标志码：Ａ 文章编号：１０ｏ９—５１２８（２０１２）０２—０ｏ４４—ｏ４ 基金项目：陕西省教育厅科研资助项目（１ｌＪＫ０４８０）；渭南市科技计划项目（２０１１ＹＫＪ２）；渭南师范学院研究生专项项目 （０７ＹＫＴＸＸ￣） 作者筒介：陈小芳（１９７８一），女，陕西渭南人，渭南师范学院数学与信息科学学院讲师．研究方向：数论． ０ 引言 文献［１—３］定义并给出了广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的求和公式，在文献［４］中定义了广义的Ｌｕｃａｓ数列为： ｋ，ｎ）＝ｋｆ（ｋ，ｎ一１）＋ ｋ，ｎ一２）√ ｋ，０）＝２，，（ｋ，１）＝１． （１） 其中，ｎ＝Ｏ，１，２，…，ｋ为任意给定的非零实数，当ｋ＝１时上式为Ｌｕｃａｓ数，设ｗｊ＝ √），通过研究广义 Ｌｕｃａｓ序列的一些恒等式，给出了广义的Ｌｕｃａｓ数列的部分简单的求和公式，本文将进一步证明广义Ｌｕｃａｓ 数的一些求和公式． １ 引理 为了证明一些结论，我们先给出几个［４］中相关的引理： 弓Ｉ理１ 一１ ＋ｌ一 ＝（２ｋ＋３）（一１） ＋１ 引理２ 引理３ 引理４ 一（２） （３） ＝ １【 ２ ＝ 们 ＋（２ｋ＋３）（．．）ｎ＋ｌ】 （４） （５） Ｉ薯ｔＪ 毫ｔＪ ＋ｌ＝ ：＋（２ｋ＋３）（一１）“¨ ２ 定理及其证明 定理１ 砉 ＝而 （６ｋ＋９）（一１） １ ＝ 州一（６ｋ＋９）（ ＋１２ｋ ＋２４ｋ＋８）】 ３ － 。一 （６） 证明 因为 ＋。＝ｋｗｊ＋ 一 ， ＝ｋ（ＷＪ＋ ＋ 一。）， 。＝ｋｗ￣ｗｊ＋ ＋ 一 ＋ ３。＋ ３一 一一ｔ＋３ ｗ ２） ＝古【 一 。一３ｋ（ｗｊｗｊ川 一。＋吐 ＋１）＋３ｗｊ＋。 ２＿１】 ２０１２年第２期 陈小芳：广义Ｌｕｃａｓ数列的求和公式 ・４５・ １ 略１ － 一３Ｉｊ｝ ＋ｌ 一ｌ】 应用引理４有： ３＝∑ 古｛ 一 ３—３ｋｔｗ３＋（２ｋ＋３）（一１）／＋１ｗ／］｝ ，Ｌｌ＝ ６ 后 从而有 ｎ＋ ２ 主＝ｌ ｊ＝ ｛ 。一吐 一３ 【 ＋（２ｋ＋３）（一１）川 】） １、，／ ４ ２ ２ ＝ 刍ｎ ３＋ 一 ｛一３后∑ ， 一３ 【∑ ＋∑（２ＪＩ＋３）（一１）川 】） ＋ ７ Ｊ＝１ ＋ ３一 Ｊ＝１ 、，８ ２ 主＝ｌ ｊ３一 ３＝ ｋ｛一３ 主＝ｌ ｊ一 ３＋ ３３一 －一３七砉（２ ＋ ３）（一１）川 ） ∑ －＋３．ｊ｝（２ｋ＋３）客（一１） ） ∑ ／ 。 ＋ ／Ｌ ２ 后 ＝古｛一３后 ｎ 一 ３＋ ＋ ３一 ３。＋（６后 ＋９｜ｉ｝）【一 ＿＝－ ＿２二： 竺 三 。。 — 、，，Ｌ２ 定理１ 得证． 定理２ ４ ｎ ＋ ｋ （ｋ 一２）（ｋ。＋４） 一＋ ４ 、 彬 一 １）ｊ ２＋（８ｋ＋１２）（尼 ＋４）（ ：＋ｌ—ｔｔＪ ）＋ ｎ（６ｋ ＋４）（２ ＋３） 一３２ｋ 一３３ｋ 一１２８ｋ一２２２｝ 证明 ４＝ （７） 因为 ＋ ＝．ｊ｝ ＋ 一。， ＝ １（ １（ ＋ 一％－１）， ＋。一乱。一。） ＝古（ 。＋吐 一２ ＋ 一。） 一 ＝ １【吐。＋ ４＋６（ ＋ 一 ） 一４ ＋。 一 一４ ＋。 一。吐 】 应用（２）我们有： ２＋－ ＋－ 一 ＝ －【 ＋（２ｋ＋ ３）（一１） 】＝（ ＋ｌ ） ＋（２ｋ＋３）（一１） ” ２＋ 由引理４得： （ ＋。ｗｊ） １ ［Ｗ ２ ．＋（２ｋ＋３）（一１）ｊ＋１］ １ ＝ Ｌ ４＋ｌ＋ ４＋（２ ＋３） （一１）≈ 一２（ ＋ｌ ） ＋ ２（２ｋ＋３）（一１） 从而有： １ ２（２ｋ＋３）（一１） 一］ （ ＋１ ） ＝ 同样的： （ｗｊｗｊ—１） ＝ 则 ｋ ＋２ ［Ｗ川４＋ ＋（４ｋ＋６）（一１）川 ｌ＋（４五＋６）（一１） ＋（２ｋ＋３） ＋２ ＋吐ｌ＋（４ｋ＋６）（一１）ｊ ２＋（４ｋ＋６）（一１）川 ２一ｌ＋（２ｋ＋３） 客 ＋ ４—１＋６【 ＋（２ｋ＋３）（一１） 】 一 ・４６・ 渭南师范学院学报 第２７卷 ４× ［吐 ＋ ＋（４ｋ＋６）（一１） 。＋（４ ＋６）（一１） ＋ （２Ｊｉ｝＋３） ＋ ４＋吐１＋（４后＋６）（一１） ＋（４ｋ＋６）（一１）川吐ｌ＋（２ ＋３） ］一 ４（２ｋ＋３）（一１） １—４（２ｋ＋３）（一１）ｊ ２｝ 一———一 （｜——ｊ｝． ＋２）Ｌ （６ｋ ＋４） （８ｋ＋１２）（ｋ ＋４）（一１） ｔ‘Ｉ２＋ｌ一（４Ｊ｝＋６）［６（ｋ ＋２）＋８］（一１） ｔｔＪ 一 （８ｋ＋１２）（ ＋４）（一１）卜 ２．１＋（２ｌｊ｝＋３） ［６（ｋ ＋２）一８］｝ 丽 ∑ ， 荟 ．２）（埘４＋１＋加４）－ 一 （１２、，６ｋ＋１ ， ４）（２ｋ ＋７）∑（一１） ＋（８．ｉ｝＋１２）（Ｉｉ｝ ＋４）（ ：＋１一 ：）＋ ｎ（６ｋ ＋４）（２后＋３） 一３２ｋ 一３３ｋ 一１２８ｋ一２２２｝． 故定理２成立． ＋ 定理３ ∑ ＝ １［忍 ＋。一（ ＋１） ：＋ｎ（２ｋ一３）（一１） 。一 ２ｎｋ一１一∑（２ ＋３）（一１） ］ （８） 证明 由（３）可以得到 ＋加 ＋…＋ ： ｎ＋ｌ埘ｎ一２ 一 ｔｌ， ＋…＋ ： ：： 一 ～’埘ｗ １ ｎ＝——— 一： 一 一（ ｉ＋ ｉ＋…＋ ｎ—ｌ＋ ＋…＋ ２ 一。） 左边相加是∑ ，当ｍ＝１，２，…，ｎ一１，右边为 ：１ 一（ｔｔ， ＋ ＋…＋ ） ｎ＋１埘ｎ 一２ ＋１加 一２ 后 一一——广 应用引理３，右边相加有： ＝ｎ 一 １｛［∞；一埘 ＋（２ ＋３）（一１） ］ 加２一 ，ｉ＋（２｜ｊ｝＋３）（一１） ］＋ …＋［１０． 一 一。＋（２ ＋３）（一１） ’］｝ １＝ ，ｌ ：＋。一（ ＋１） ＋ｎ（２ｋ＋３）（一１） 一２ｎｋ一１一∑（２ ＋３）（一１） ］ 定理４ ｛厅｜ｊ｝［（后 ＋３）一２］ ＋ｔ－［ （ ＋３）（ｎ＋１）一２］ ：一 （６Ｊｊ｝＋９）［（ ＋３）（ｎｋ＋２）一２］．（一１） ＋ （６Ｉｉ｝＋９）［（｜ｉ｝ ＋３）（ｎｋ＋Ｉｉ｝＋２）一２］（一１）“ ＋１２ｋ ＋３０ｋ ＋６ 一６｜ｉ｝一３４｝ （９） 证明 应用定理１，有： ：＋ ；＋…＋ ： ［ ３ ＋・＋加３ｎ一（６．ｉ｝＋９）（一１）ｎ￣ｌ ＋・一 （６ ＋９）（一１）“ ＋１２ｋ ＋２４ ＋８］ ∑２２０１２年第２期 陈小芳：广义Ｌｕｃａｓ数列的求和公式 ∑ ・４７・ ３ｚ＋…＋加３ ＝ ［ ３ ＋－＋ ３ 一（６ ＋９）（一１） “ ＋。一 ＝ （６ｋ＋９）（一１） Ｗ ＋１２ｋ ＋２４ｋ＋８］一 ＋ １ 一 ： ［ｔ￡７ ３＋ｔ＋埘３ 一（６ｋ＋９）（一１）ｎ＋ｌ “一（６ｋ＋９）（一１）ｎ ＋ ）掩 ２ １２ｋ ＋２４ｋ＋８］一（ ＋Ｗ；＋…＋加３ 一１） ∑ （ ＋ 左边相加是主 ，Ｊ＝１ 右边相加，当ｍ：１，２，…，ｎ一１， 南［ｔ‘，ｎ３＋－＋ ３ 一（６ｋ＋９）（一１） “ ＋ 一（６ｋ＋９）（一１） ＋ ＋ “ １２ｋ２＋２４ｋ＋８］一 ｗ ＋Ｗ；＋…＋ ３ ） ６ ＋ ［ ｎ３＋ ＋ ｎ３一（６ｋ＋９）（一１） “ ＋ 一（６ｋ＋９）（一１）“ｌｔＪ ＋ ９ 一 １２ ＋２４尼＋８］＿ ［ ＋ｌ＋ ３ 一（６ｋ＋９）（一１） ｌ一 （６ｋ＋９）（一１） ＋１２ｋ ＋２４ｋ＋８］ ＋ 应用定理１将等式右边相加得： ６ Ｘｊｗ？ ［ ３ ＋－＋ ３一（６ｋ＋９）（一１） ”ｌ‘７ ＋ｔ一（６ｋ＋９）（一１） ＋ ＋ ９ 『＝。一 １２ｋ２＋２４ ８１一 ［２ ３ ３ｎ ３・一 一 ｛ｎｋ［（ｋ ＋３）一２］ｗ３ｎ＋ 一［ＪＩ｝（Ｊｉ｝ ＋３）（ｎ＋１）一２］ｗ：一 （６后＋９）［（ ＋３）（ｎｋ＋２）一２］（一１） ”Ｗ ＋ｌ＋ （６ ＋９）［（Ｊｊ｝ ＋３）（ｎｋ＋ｋ＋２）一２］（一１）“ ＋１２ｋ ＋３０ｋ ＋６．ｊ｝ 一６｜ｉ｝一３４｝ 参考文献： ［１］张之正．广义Ｆｉｅｂｎａｃｃｉ序列和Ｌｕｃａｓ序列的求和公式［Ｊ］．烟台师范学院学报（自然科学版），１９９５，６（２）：４—７． ［２］张之正．广义Ｆｉｂｏｎａｅｃｉ＿Ｌｕｃａ８序列的求和公式［Ｊ］．宁夏大学学报（自然科学版），１９９４，９（３）：２２—２４． ［３］吴茂念．广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的一些前项和公式［Ｊ］．贵州大学学报（自然科学版），２００５，（４）：３４３—３４７． ［４］陈小芳．广义Ｌｕｅａｓ数列的一些求和公式［Ｊ］．价值工程，２０１１，１１（１）：１７６． 【责任编辑牛怀岗】 Ｔｈｅ Ｓｏｍｅ Ｓｕｍ Ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｌｕｃａｓ Ｎｕｍｂｅｒｓ ＣＨＥＮ Ｘｉａｏ．ｆａｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｗｅｉｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｅｉｎａｎ ７１４０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｓｅｃｏｎｄ ｌｉｎｅ ｆｏｒｍｕｌａ，Ｌｕｃａｓ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｐｌａｙｓ ａ ｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｔ ｒｏｌｅ ｉｎ ｔｈｅｏｒｙ ｒｅｓｅａｒｃｈ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｓｏｍｅ ｍａｔｅｒｉａｌ ｏｎ Ｌｕｃａｓ ｓｅｒｉｅｓ，ｈａｖｉｎｇ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ ｔｈｅ ｕｎｉｉｆｅｄ ｆｏｒｍｕｌａ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｈｔｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｌｕｃａｓ ｓｅｒｉｅｓ ｅｑｕａｌ ｌｅｎｇｔｈ ｓｕｂ— ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｉｔｅｍｓ ｓｕｍ，ｗｅ ｈａｖｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｍｏｒｅ ｗｉｄｅｌｙ ｓｕｍ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｌｕｅａｓ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ａｄｏｐｔｅｄ ｈｔｅ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｈｌｃａ８ ｎｕｍｂｅｒｓ：ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ；ｓｕｍ ｆｏｒｍｕｌａ