极坐标系速度推导

§2.7极坐标系·速度与加速度

问题的提出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 如：从这 向北 走2000米！（出发点 方向 距离）

一、极坐标系 （ plane polar coordinates ） 1 ．极坐标系的建立：

在参考系上取点 O ，引有刻度的射线 OX 称为极轴（有方向的），建成极坐标系。

矢径： 由参考点 O 引向质点位置 A 的线段长度

由 r 表示矢径。 如图示： r=

幅角： 质点的位置矢量与极轴所夹的角 θ （也称：极角） 规定： 自极轴逆时针转至位置矢量的幅角为正，反之为负。 （ r ，θ）确定平面上质点的位置，称为极坐标。 质点的运 动学方程： 质点的轨迹：

、

2 ．极坐标系中矢量的正交分解

如图示：质点在 A 点，沿位置矢量方向称为径向

径向单位矢量： 沿质点所在处位置矢量的方向。 横向单位矢量： 与径向方向垂直且指向 增加的方向。 任何矢量均可在 和 方向上作正交分解。 注意 ：径向和横向随地点而异。

1 / 31 / 3

极坐标系速度推导

二、径向速度与横向速度

讨论质点平面运动速度在极坐标系中的正交分解式，如图示：

（ 1 ） 用微元法推导速度 设： t 达

由速度的定义：

t+

时间内，图中质点自 A（r，t）经历一微小的位移

，到

（ 1 ）

位移 位移

对应于质点矢量的改变—— 径向位移 ；

对应于质点相对于极点幅角的改变—— 横向位移 。

时，

，

时，

指向趋于

方向。

指向趋于

方向。

(2)

故 : 速度的径向分量：

，速度的径横向分量 ：

即： 径向速度等于矢径对时间的变化率 横向速度等于矢径与角速度的乘积。 （ 2 ） 矢量运算法推导速度

（ 5 ）

2 / 32 / 3

极坐标系速度推导

对于径向速度是矢径的变化而引起的速度的大小。

下面讨论 如图所示

：

是单位径向方向，模的大小为 1 。

（

另外

的推导也可如下进行：

）

右端展开是 : 即：

所以 : 。

三 、加速度矢量

用“矢量法”推导“加速度” 已知：

；

3 / 33 / 3