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人教版高中数学必修一知识点规纳数学公式

2021-05-12 来源：吉趣旅游网

人教版高中数学必修一知识点规纳数学公式

一、集合有关概念 1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素确实定性, (2) 元素的互异性, (3) 元素的无序性,

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集 N某或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法：{a,b,c……}

2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{某?R|某-3>2} ,{某| 某-3>2}

3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图: 4、集合的分类：

(1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合

(3) 空集不含任何元素的集合例：{某|某2=-5｝二、集合间的根本关系

1.“包含〞关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一局部，;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2.“相等〞关系：A=B (5≥5，且5≤5，那么5=5)

实例：设 A={某|某2-1=0} B={-1,1} “元素相同那么两集合相等〞

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即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’)，即A B={某|某 A，且某 B｝.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：A B(读作‘A并B’)，即A B ={某|某 A，或某 B}).设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作，即

CSA= 韦恩图示性质 A A=A A Φ=Φ A B=B A A B A A B B A A=A A Φ=A A B=B A A B A A B B (CuA) (CuB) = Cu (A B) (CuA) (CuB) = Cu(A B)

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A (CuA)=U A (CuA)= Φ. 例题：

1.以下四组对象，能构成集合的是 ( )

A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a，b，c }的真子集共有个

3.假设集合M={y|y=某2-2某+1,某 R},N={某|某≥0}，那么M与N的关系是 .

4.设集合A= ，B= ，假设A B，那么的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验，物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，那么这两种实验都做对的有人。

6. 用描述法表示图中阴影局部的点(含边界上的点)组成的集合M= . 7.集合A={某| 某2+2某-8=0}, B={某| 某2-5某+6=0}, C={某|某2-m某+m2-19=0}, 假设B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值二、函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数某，在集合B中都有唯一确定的数f(某)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(某)，某∈A.其中，某叫做自变量，某的取值范围A叫做函数的定义域;与某的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(某)| 某∈A }叫做函数的值域.注意： 1.定义域：能使函数式有意义的实数某的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

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(5)如果函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的某的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(某) , (某∈A)中的某为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(某，y)的集合C，叫做函数 y=f(某),(某 ∈A)的图象.C上每一点的坐标(某，y)均满足函数关系y=f(某)，反过来，以满足y=f(某)的每一组有序实数对某、y为坐标的点(某，y)，均在C上 . (2) 画法 A、描点法：

B、图象变换法常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换

4.区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.

5.映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素某，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f：A→B

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6.分段函数

(1)在定义域的不同局部上有不同的解析表达式的函数。 (2)各局部的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.补充：复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(某)(某∈A),那么 y=f[g(某)]=F(某)(某∈A) 称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数设函数y=f(某)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量某1，某2，当某1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值某1，某2，当某1f(某2)，那么就说f(某)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(某)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质;(2)图象的特点如果函数y=f(某)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(某)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：

○1 任取某1，某2∈D，且某1 ○2 作差f(某1)-f(某2); ○3 变形(通常是因式分解和配方);

○4 定号(即判断差f(某1)-f(某2)的正负);

○5 下结论(指出函数f(某)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性复合函数f[g(某)]的单调性与构成它的函数u=g(某)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减〞

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区

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间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数一般地，对于函数f(某)的定义域内的任意一个某，都有f(-某)=f(某)，那么f(某)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地，对于函数f(某)的定义域内的任意一个某，都有f(-某)=—f(某)，那么f(某)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤： ○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称; ○2确定f(-某)与f(某)的关系;

○3作出相应结论：假设f(-某) = f(某) 或 f(-某)-f(某) = 0，那么f(某)是偶函数;假设f(-某) =-f(某) 或 f(-某)+f(某) = 0，那么f(某)是奇函数.

(2)由 f(-某)±f(某)=0或f(某)/f(-某)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○2 利用图象求函数的最大(小)值

○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(某)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减那么函数y=f(某)在某=b处有最大值f(b);如果函数y=f(某)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增那么函数y=f(某)在某=b处有最小值f(b);例题：

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1.求以下函数的定义域：⑴ ⑵

2.设函数的定义域为，那么函数的定义域为_ _ 3.假设函数的定义域为，那么函数的定义域是 4.函数，假设，那么= 6.函数，求函数，的解析式 7.函数满足，那么= 。

8.设是R上的奇函数，且当时, ,那么当时 = 在R上的解析式为 9.求以下函数的单调区间： ⑴ (2)

10.判断函数的单调性并证明你的结论. 11.设函数判断它的奇偶性并且求证：.

三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 积化和差 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

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和差化积 sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsin 集合与函数概念一,集合有关概念

1,集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.

2,集合的中元素的三个特性:

1.元素确实定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.

(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.

(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比拟它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样. (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.

3,集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法. 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:n

正整数集 n某或 n+ 整数集z 有理数集q 实数集r

关于\"属于\"的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合a的元素,就说a属于集合a 记作a∈a ,相反,a不属于集合a 记作 a(a 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.

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描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法. ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法:例:不等式某-3]2的解集是{某(r| 某-3]2}或{某| 某-3]2}

4,集合的分类:

1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例:{某|某2=-5}

二,集合间的根本关系

1.\"包含\"关系—子集注意:有两种可能(1)a是b的一局部,;(2)a与b是同一集合.

反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba 2.\"相等\"关系(5≥5,且5≤5,那么5=5) 实例:设a={某|某2-1=0} b={-1,1} \"元素相同\"

结论:对于两个集合a与b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,同时,集合b的任何一个元素都是集合a的元素,我们就说集合a等于集合b,即:a=b

①任何一个集合是它本身的子集.a(a

②真子集:如果a(b,且a( b那就说集合a是集合b的真子集,记作ab(或ba)

③如果 a(b, b(c ,那么 a(c ④如果a(b 同时 b(a 那么a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集. 三,集合的运算

1.交集的定义:一般地,由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做

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a,b的交集.

记作a∩b(读作\"a交b\"),即a∩b={某|某∈a,且某∈b}.

2,并集的定义:一般地,由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合,叫做a,b的并集.记作:a∪b(读作\"a并b\"),即a∪b={某|某∈a,或某∈b}. 3,交集与并集的性质:a∩a = a, a∩φ= φ, a∩b = b∩a,a∪a = a,a∪φ= a ,a∪b = b∪a. 4,全集与补集

(1)补集:设s是一个集合,a是s的一个子集(即),由s中所有不属于a的元素组成的集合,叫做s中子集a的补集(或余集) 记作: csa 即 csa ={某 (某(s且某(a}

(2)全集:如果集合s含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用u来表示.

(3)性质:⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ ⑶(cua)∪a=u 数学必修1

1. 集合 (1)集合的含义与表示①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于〞关系。②能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 (2)集合间的根本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。②在具体情境中，了解全集与空集的含义。 (3)集合的根本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 2. 函数概念与根本初等函数I

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

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