2021-2022学年浙江省宁波七中八年级（上）期中数学试卷
一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）如图，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在数轴上表示不等式组﹣1＜x≤3，正确的是（ ）
A． B．
C．
2
D．
3．（3分）能说明命题“若x≥4，则x≥2”为假命题的一个反例可以是（ ） A．x＝﹣1
B．x＝2
C．x＝﹣3
D．x＝5
4．（3分）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是（ ） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝
，b＝
，c＝
B．∠A＝25°，∠B＝75° D．a＝6，b＝10，c＝12
5．（3分）设□△○表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体按质量从大到小的顺序为（ ）
A．□△○
B．□○△
C．△○□
D．△□○
6．（3分）如图，∠ABC＝∠DCB，要说明△ABC≌△DCB，添加的条件不能是（ ）
A．AB＝DC
B．∠A＝∠D
C．BE＝CE
D．AC＝DB
7．（3分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是（ ）
第1页（共29页）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确
8．（3分）如图所示，已知△ABC（AC＜AB＜BC），用尺规在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．以B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点P
B．以C为圆心，CA长为半径画弧交BC于点P
C．作AB垂直平分线交BC于P
D．作AC垂直平分线交BC于点P
的解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的
9．（3分）已知关于x的不等式组范围内，则a的取值范围是（ ） A．﹣5≤a≤6
B．a≥6或a≤﹣5
C．﹣5＜a＜6 D．a＞6或a＜﹣5
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，将△ABC沿直线BC方向平移2.5个单位得到△DEF，AC与DE相交于G点，连接AD，AE，则下列结论：
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①△AGD≌△CGE：
②△ADE是以AE为底的等腰三角形； ③AC平分∠EAD；
④四边形AEFD的面积为9． 其中正确的结论有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二．认真填一填（本题有8小题，每题3分，共24分）
11．（3分）“x的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为 ．
12．（3分）如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是 ．
13．（3分）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ． 14．（3分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为 ． 15．（3分）不等式组
有解，m的取值范围是 ．
16．（3分）如果一个三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，则∠C＝ °．
17．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 ．
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18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为ts．若△ACP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值为 ．
三．全面答一答（共6题；第19～21每题6分，第22～23每题8分，第24题12分，共46分）
19．（6分）计算：
（1）解不等式2x﹣11＜4（x﹣3）+3； （2）解不等式组
．
20．（6分）已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF． 求证：△ABF≌△DCE．
21．（6分）如图，在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请按下列要求画图． （1）在图1中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形． （2）在图2中涂黑两块小正方形，使涂黑的五个小正方形组成一个轴对称图形．
22．（8分）某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同；购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元． （1）求这两种书的单价；
第4页（共29页）
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
23．（8分）如图，AO⊥OM，OA＝8
，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB
为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE． （1）连接AF、OE，求证AF＝OE；
（2）连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度的会变化吗？若会变化，请说明理由；若不变，请求出PB的长度．
24．（12分）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a＝b则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题． （2）如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数．
（3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．
①当∠A＝28°时，你能把这一个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由． ②请证明△ABC为“类勾股三角形”．
2
2
四．附加题（本题有3个小题，第25-26题每题3分，第26题4分，共10分） 25．（3分）已知关于x的不等式组是 ．
26．（3分）如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 ．
只有两个整数解，则实数m的取值范围
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27．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝120°，AB＝BC．对角线AC，BD相交于点E．若AE＝3CE，求证：AB＝2CD．
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2021-2022学年浙江省宁波七中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）如图，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置． 2．（3分）在数轴上表示不等式组﹣1＜x≤3，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：∵﹣1＜x≤3， ∴在数轴上表示为：
故选：C．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解答此题的关键．
3．（3分）能说明命题“若x≥4，则x≥2”为假命题的一个反例可以是（ ）
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2
A．x＝﹣1 B．x＝2
2
C．x＝﹣3 D．x＝5
【分析】当x＝﹣3时，满足x≥4，但不能得到x≥2，于是x＝﹣3可作为说明命题“若x≥4，则x≥2”是假命题的一个反例．
【解答】解：说明命题“若x≥4，则x≥2”是假命题的一个反例可以是x＝﹣3． 故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果„那么„”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．（3分）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是（ ） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝
，b＝
，c＝
B．∠A＝25°，∠B＝75° D．a＝6，b＝10，c＝12
2
2
【分析】再根据直角三角形的判定得出∠A+∠B+∠C＝180°，再根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5求出最大角∠C，再根据直角三角形的判定即可判断选项A；根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判断选项B；根据勾股定理的逆定理即可判断选项C、选项D． 【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴最大角∠C＝
×180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵∠A＝25°，∠B＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵a＝
2
2
2
，b＝，c＝，
∴a+b＝c，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意； D．∵a＝6，b＝10，c＝12， ∴a+b≠c，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
第8页（共29页）
2
2
2
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和等于180°是解此题的关键．
5．（3分）设□△○表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体按质量从大到小的顺序为（ ）
A．□△○
B．□○△
C．△○□
D．△□○
【分析】通过一图知道□＞△二图知道△＝2○，进而求出三种物体质量从大到小的顺序． 【解答】解：通过一图知道□＞△二图知道△＝2○，所以□＞△＞○，即□△○ 故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂图列出不等式关系式即可求解．
6．（3分）如图，∠ABC＝∠DCB，要说明△ABC≌△DCB，添加的条件不能是（ ）
A．AB＝DC
B．∠A＝∠D
C．BE＝CE
D．AC＝DB
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∴选项A，可以根据SAS证明△ABC≌△DCB， 选项B，可以根据AAS证明△ABC≌△DCB， 选项C，可以根据ASA证明△ABC≌△DCB， 选项D，SSA不能判定三角形全等， 故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（3分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是（ ）
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A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB． 【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：B．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
8．（3分）如图所示，已知△ABC（AC＜AB＜BC），用尺规在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
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A．以B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点P
B．以C为圆心，CA长为半径画弧交BC于点P
C．作AB垂直平分线交BC于P
D．作AC垂直平分线交BC于点P
【分析】利用线段垂直平分线的性质，作AB垂直平分线交BC于点P，则PA＝PB，从而可判断此时P点满足条件．
【解答】解：作AB垂直平分线交BC于点P，连接PA， 则PA＝PB，
所以PA+PC＝PB+PC＝BC． 故选：C．
【点评】本题考查了作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查线段垂直平分线的性质．
9．（3分）已知关于x的不等式组范围内，则a的取值范围是（ ） A．﹣5≤a≤6
B．a≥6或a≤﹣5
C．﹣5＜a＜6
D．a＞6或a＜﹣5
的解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的
【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集是与﹣1≤x≤3
第11页（共29页）
的关系，可得答案． 【解答】解：不等式组
，得a﹣3＜x＜a+4，
由不等式组的解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内，得
a+4≤﹣1或a﹣3≥3， 解得a≤﹣5或a≥6， 故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解集，利用解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内得出不等式是解题关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，将△ABC沿直线BC方向平移2.5个单位得到△DEF，AC与DE相交于G点，连接AD，AE，则下列结论： ①△AGD≌△CGE：
②△ADE是以AE为底的等腰三角形； ③AC平分∠EAD；
④四边形AEFD的面积为9． 其中正确的结论有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【分析】利用勾股定理计算出BC＝5，再根据平移的性质得到AD＝BE＝CF＝2.5，AD∥BC，则CE＝AD＝2.5，根据全等三角形的判定方法对①进行判断；利用直角三角形斜边上的中线性质得到AE＝BE＝CE＝2.5，则可对②进行判断；由△AGD≌△CGE得到DG＝EG，则根据等腰三角形的“三线合一”可对③进行判断；过A点作AH⊥BC于H，如图，利用面积法计算出AH＝积，则可对④进行判断．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝
，然后根据梯形的面积公式计算出四边形AEFD的面
＝5，
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∵△ABC沿直线BC方向平移2.5个单位得到△DEF， ∴AD＝BE＝CF＝2.5，AD∥BC， ∴CE＝BC﹣BE＝5﹣2.5＝2.5， ∴AD＝CE， ∵AD∥CE， ∴∠ADG＝∠CEG， 在△AGD和△CGE中，
，
∴△AGD≌△CGE（AAS），所以①正确； ∵∠BAC＝90°，BE＝CE， ∴AE＝BE＝CE＝2.5， ∴AE＝AD，
∴△ADE是以DE为底的等腰三角形，所以②错误； ∵△AGD≌△CGE， ∴DG＝EG， 而AE＝AD，
∴AG平分∠EAD，所以③正确， 过A点作AH⊥BC于H，如图， ∵AH•BC＝AB•AC， ∴AH＝
＝
，
＝9，所以④正确．
∴四边形AEFD的面积＝×（2.5+2.5+2.5）×故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．也考查了平移的性质和等
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腰三角形的性质．
二．认真填一填（本题有8小题，每题3分，共24分）
11．（3分）“x的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为 2x﹣3≥0 ．
【分析】首先表示出x的2倍与3的差为2x﹣3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2x﹣3≥0．
【解答】解：由题意得：2x﹣3≥0． 故答案为：2x﹣3≥0．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，要抓住题目中的关键词“非负数”正确选择不等号．
12．（3分）如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是 ﹣
．
【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段OB的长度，然后根据OA＝OB即可求出OA的长度，接着可以求出数轴上点A所表示的数． 【解答】解：∵OC＝3，BC＝1， ∴BO＝∵OA＝OB， ∴OA＝
，
；
＝
＝
，
∴数轴上点A表示的数是﹣故答案为：﹣
．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13．（3分）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 “面积相等的两个三角形全等” ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题“面积相等的两个三角形全等”，
故答案为：“面积相等的两个三角形全等”．
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【点评】本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
14．（3分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为 20 ． 【分析】根据题意，要分情况讨论：①4是腰；②4是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．
【解答】解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是8，但是4+4＝8，故不构成三角形，舍去．
②若4是底，则腰是8，8． 4+8＞8，符合条件．成立． 故周长为：4+8+8＝20． 故答案为：20．
【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 15．（3分）不等式组
有解，m的取值范围是 m＜2 ．
【分析】先求出解集，然后根据不等式组有解，即可求出m的取值范围． 【解答】解：解不等式组∵原不等式组有解 ∴m+3＜5， 解得：m＜2， 故答案为：m＜2．
【点评】本题考查了不等式的解集，不等式组的解集是大于小的小于大的是解题关键． 16．（3分）如果一个三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，则∠C＝ 125或110 °．
【分析】根据“准互余三角形”的定义知∠A+2∠B＝90°，或2∠A+∠B＝90°，即可求出∠B的度数，从而得出答案．
第15页（共29页）
，可得，m+3＜x＜5，
【解答】解：∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°， ∴∠A+2∠B＝90°，或2∠A+∠B＝90°， ∵∠A＝20°，
∴∠B＝35°，或∠B＝50°， ∴∠C＝125°，或∠C＝110°， 故答案为：125或110．
【点评】本题主要考查了新定义题，三角形内角和定理等知识，读懂题意，求出∠B的度数是解题的关键．
17．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 60° ．
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题；
【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE， 即BE就是PE+PC的最小值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCE＝60°， ∵BA＝BC，AE＝EC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC＝30°， ∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
第16页（共29页）
∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°， 故答案为60°．
【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为ts．若△ACP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值为 5或3.9或5.5或
．
【分析】分AP＝AC，CP＝CA，PA＝PC三种情形，分别画图进行计算． 【解答】解：当AP＝AC时，点P与B重合， ∴t＝（10+10）÷4＝5（s），
当CA＝CP，当点P在AB上时，作AH⊥BC于H，CG⊥AB于G，
∵AB＝AC＝10cm，AH⊥BC， ∴BH＝BC＝6（cm）， 由勾股定理得AH＝8cm，
第17页（共29页）
∴AB×CG＝BC×AH， ∴CG＝
（cm），
＝
＝2.8（cm），
在Rt△ACG中，由勾股定理得AG＝∴AP＝2AG＝5.6cm，
∴t＝（10+5.6）÷4＝3.9（s）， 当点P落在BC上时， t＝22÷4＝5.5（s），
当AP＝CP时，如图，设CP＝AP＝xcm，
则PH＝（x﹣6）cm，
在Rt△APH中，由勾股定理得x＝（x﹣6）+8， 解得x＝
，
＝
（cm），
2
2
2
∴AC+AB+BP＝10+10+12﹣∴t＝
＝
（s），
综上：t＝5或3.9或5.5或故答案为：5或3.9或5.5或
， ．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
三．全面答一答（共6题；第19～21每题6分，第22～23每题8分，第24题12分，共46分）
19．（6分）计算：
（1）解不等式2x﹣11＜4（x﹣3）+3；
第18页（共29页）
（2）解不等式组．
【分析】（1）去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去括号，得：2x﹣11＜4x﹣12+3， 移项，得：2x﹣4x＜﹣12+3+11， 合并同类项，得：﹣2x＜2， 系数化为1，得：x＞﹣1； （2）
，
解不等式①得：x＞， 解不等式②得：x≤7， 则不等式组的解集为＜x≤7．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．（6分）已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF． 求证：△ABF≌△DCE．
【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，根据平行线的性质得出∠B＝∠C，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE﹣EF＝CF﹣EF， 即BF＝CE， ∵AB∥CD，
第19页（共29页）
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
21．（6分）如图，在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请按下列要求画图． （1）在图1中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形． （2）在图2中涂黑两块小正方形，使涂黑的五个小正方形组成一个轴对称图形．
【分析】（1）根据轴对称图形的定义以及题目要求画出图形即可； （2）根据轴对称图形的定义，以及题目要求画出图形即可． 【解答】解：（1）如图1中，图形即为所求． （2）如图2中，图形即为所求．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
22．（8分）某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同；购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元．
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（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；
（2）设购买《北上》的数量为n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
【解答】解：（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元， 由题意得：解得
．
，
答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
（2）设购买《北上》的数量为n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本， 根据题意得
，
解得：16≤n≤20， 则n可以取17、18、19、20，
当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585（元）； 当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590（元）； 当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595（元）； 当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600（元）；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
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【点评】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键． 23．（8分）如图，AO⊥OM，OA＝8
，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB
为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE． （1）连接AF、OE，求证AF＝OE；
（2）连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度的会变化吗？若会变化，请说明理由；若不变，请求出PB的长度．
【分析】（1）由△OBF、△ABE都是等腰直角三角形，可得到△ABF与△EBO全等的条件，证明△ABF≌△EBO，即可得到AF＝OE；
（2）作ED⊥OM于点D，先证明△EBD≌△BAO，得DE＝OB，DB＝OA＝明△DPE≌△BPF，得PB＝PD＝DB＝【解答】（1）证明：如图1，连接AF、OE， ∵△OBF、△ABE都是等腰直角三角形， ∴BF＝BO，BA＝BE，∠OBF＝∠ABE＝90°， ∴∠ABF＝∠EBO＝90°+∠ABO， 在△ABF和△EBO中，
，
∴△ABF≌△EBO（SAS）， ∴AF＝OE． （2）解：不变，
如图2，作ED⊥OM于点D， ∵AO⊥OM，BF⊥OM，
∴∠BDE＝∠AOB＝∠PBF＝90°， ∴∠EBD＝90°﹣∠ABO＝∠BAO， 在△EBD和△BAO中，
．
，再证
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，
∴△EBD≌△BAO（AAS）， ∴DE＝OB，DB＝OA＝∵OB＝BF， ∴DE＝BF，
在△DPE和△BPF中，
，
∴△DPE≌△BPF（AAS）， ∴PD＝PB， ∴PB＝DB＝×
＝
，
．
，
∴PB的长度不变，PB的长度为
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，此题难度适宜，构思巧妙，是很好的习题．
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24．（12分）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a＝b则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 假 （填“真”或“假”）命题． （2）如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数．
（3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．
①当∠A＝28°时，你能把这一个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由． ②请证明△ABC为“类勾股三角形”．
【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a＝c，再由勾股定理得a+b＝c，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；
（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；
②先求出CD＝CB＝a，AD＝CD＝a，DB＝AB﹣AD＝c﹣a，DG＝BG＝（c﹣a），AG＝（a+c），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 【解答】解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形， ∴ab+a＝c，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a+b＝c， ∴ab+b＝a+b， ∴ab＝a， ∴a＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形， ∴等腰直角三角形是类勾股三角形， 即：原命题是假命题， 故答案为：假；
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（2）∵AB＝BC，AC＞AB， ∴a＝c，b＞c，
∵△ABC是类勾股三角形 ∴ac+a＝b， ∴c+a＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°，
（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝28°， ∴∠ABC＝56°，
根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝96°， ∵把这个三角形分成两个等腰三角形， ∴Ⅰ、分割线分∠ACB， （Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时， ∵∠ABC＝56°，
∴∠BCD＝∠BDC＝62°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝96°﹣62°＝34°， ∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝56°时， ∴∠BDC＝68°， ∴∠ACD＝40°，
∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝56°时， ∴∠ACD＝56°﹣28°＝28°． ∴△ACD是等腰三角形，
图形如图2所示：两个等腰三角形的顶角的度数分别为124°和68°．
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Ⅱ、分割线分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立； Ⅲ、分割线分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；
②如图，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A，作CG⊥AB于G，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A， ∵∠B＝2∠A， ∴∠CDB＝∠B， ∴CD＝CB＝a， ∵∠ACD＝∠A， ∴AD＝CD＝a， ∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a， ∵CG⊥AB
∴DG＝BG＝（c﹣a），
∴AG＝AD+DG＝a+（c﹣a）＝（a+c），
在Rt△ACG中，CG＝AC﹣AG＝b﹣[（c+a）]， 在Rt△BCG中，CG＝BC﹣BG＝a﹣[（c﹣a）]， ∴b﹣[（a+c）]＝a﹣[（c﹣a）]， ∴b＝ac+a，
∴△ABC是“类勾股三角形”．
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【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，“类勾股三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 四．附加题（本题有3个小题，第25-26题每题3分，第26题4分，共10分） 25．（3分）已知关于x的不等式组是 ﹣3＜m≤﹣2 ．
【分析】分x﹣1＞0和x﹣1≤0两种情况，列出不等式组，根据不等式组有两个整数解求解可得．
【解答】解：当x≤2时，2﹣x＞2x+3， ∴x＜﹣， ∴x＜﹣；
当x＞2时，x﹣2＜2x+3， ∴x＞﹣5，
∴不等式的解为x＞2， ∵不等式组∴﹣3＜m≤﹣2， 故答案为：﹣3＜m≤﹣2．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，根据绝对值性质分类讨论及由不等式组的整数解得出m的值是解题的关键．
26．（3分）如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为
．
只有两个整数解，
只有两个整数解，则实数m的取值范围
【分析】作AM⊥BC，根据等边三角形的面积计算可以求得AM＝PE+PD+PF，再根据等边三角形的高线长可以计算等边三角形的边长，即可解题． 【解答】解：过A作AM⊥BC，则AM为BC边上的高， 连接PA、PB、PC，
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则△ABC的面积S＝BC•AM＝（BC•PD+AB•PF+AC•PE）， ∴BC•AM＝BC•PD+AB•PF+AC•PE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，
∴BC•AM＝BC•PD+BC•PF+BC•PE＝BC•（PD+PF+PE）， ∴PD+PE+PF＝AM， ∴△ABC的高为：1+3+5＝9， ∴△ABC的边长为：AB＝
＝
＝9×
＝6
，
故答案为6．
【点评】本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形边长和高线长的关系，本题中求AM＝PD+PE+PF是解题的关键．
27．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝120°，AB＝BC．对角线AC，BD相交于点E．若AE＝3CE，求证：AB＝2CD．
【分析】过点B作BF⊥AC，由题意可得∠ACB＝30°，AF＝CF＝AC，从而可求得∠BFE＝∠ACD＝90°，再利用AE＝3CE，可求得EF＝CE，利用ASA可证得△BEF≌△DCE，从而得BF＝DC，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，可得BF＝BC，从而可求解．
【解答】证明：过点B作BF⊥AC，如图所示：
∵∠ABC＝∠BCD＝120°，AB＝BC，
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∴∠ACB＝30°，AF＝CF＝AC， ∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°， ∴∠BFE＝∠ACD＝90°， ∵AE＝3CE，
∴AC＝AE+CE＝4CE， ∴CF＝2CE， ∴EF＝CE，
在△BEF和△DCE中，
，
∴△BEF≌△DCE（ASA）， ∴BF＝DC，
在Rt△BCF中，∠BCF＝30°， ∴BF＝BC， ∴DC＝BC，
∴DC＝AB，即AB＝2CD．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线BF，且证得EF＝CE．
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