张量定义及算法概要

a j i

a i i j和

jk ai

jk a k k

x

x 它们是关于指标 k 协变的二阶张

a j ;k 或

k a i

量，分别称为矢量 a i 和 a j 的协变导数，分别记作 a i ;k 和 和

k a j . [张量的绝对微分与平行移动及其协变微分法] 由乘积的微分公式和张量的定

义可以推出张量的平行移动规律. 例如，三阶张量的平行移动规律为 l r l r l l r dTik is Trk dTijlk

ks Tir is Trj

rs Tik dx s

四阶张量的平行移动规律为 r lk r lk l rk k lr

rs Tij dx s

可以看出,张量平行移动

js Tir rs Tij

规律中所包含的项数与张量的阶数是相同的, 对于张量的逆变指标, 类似于逆变矢量平行移动的规律; 对于张量的协变指标, 类似于协变矢量平行移动的规律.记 r lk r lk l rk k lr DTijlk

dTijlk

is Trj

js Tir

rs Tij

rs Tij dx s

则称 DTijlk 为

Tijlk x

张量 Tijlk 的绝对微分. [张量的协变导数及其运算法则] lk Tijlk ;s s r lk r lk l rk k lr

is Trj

js Tir

rs Tij

s Tij

rs Tij 称为张量 Tijlk 的协变导

数，它是一个五阶张量的分量. 在普通导数中，对于已微分的张量的每个指标再加上一项就可以构成任意张量的协变导 数，对于逆变指标，这项的形式是 i r T i rs T

r

对于协变指标是 r T

k

;s ;s

ks T 协变导数的运算法则如下：

il i1 s Tj1

1 若干个同样结构

il i1 jm s A

il sU j1 A

的张量之和的协变导数等于各个张量的协变导数之和，即 i1

il jm 2 s B

C

AB

s Tji11

jm

U j1

jm s

满足积的微分法则，即 ABC BC

s C [自平行曲线] i 在仿射联络空间中，如果切于曲线上一点 M0 的

每个矢量 a 0 沿这曲线平 行移动时是切于这曲线的，则称这曲线为自平行曲线.

dx i 设曲线的方程为 x =x (t, 它的切矢量为 ，它沿曲线平行移动的条件为 dt i i j k d 2 xi i dx dx

jk

0 dt dt dt 2 i 这就是联络

jk 的自平行曲线的微分方程.设 S ijk

S jk dt dt dt

jk

上面的微分方程可写成 1 i i jk kj 2 j k d 2 xi i dx dx

2 i 系数 S ijk 显然关于 j 和 k 是对称的， 并构成一个仿射联络.称 S ijk 构成伴随于 的对称仿射联络， i i 如果 jk 关于 j , k 也是对称的，则 S ijk 与 jk 一致.