复合函数求导及应用

复合函数求导及应用

求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数．

1．复合函数的概念

对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

2．复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即

y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

题型一 简单的复合函数求导问题 [例1] 求下列函数的导数：

(1)y＝

ysin2x3；(4)y＝5log2(2x＋1)． 1－2x2；(2)y＝esin x；(3)

11u2[解] (1)设yu，u＝1－2x2，则y′＝(u)′(1－2x2)′＝2·(－4x)

121211-2x2＝212(－4x)＝

－2x1－2x2

.

(2)设y＝eu，u＝sin x，则yx′＝yu′·ux′＝eu·cos x＝esin xcos x.

π

(3)设y＝sin u，u＝2x＋，则yx′＝yu′·ux′＝cos u·2＝2cos（2x+3）.

3

(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝

＝uln 2

10

.

2x＋1ln 2

10

复合函数的求导步骤

练习 求下列函数的导数：

(1)y＝(2x－1)4； (2)y＝102x＋3； (3)y＝sin4x＋cos4x.

解：(1)令u＝2x－1，则y＝u4，∴y′x＝y′u·u′x＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.

(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2ln 10·102x＋3.

(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－sin22x＝1－(1－cos

244x)

11

3131

＝＋cos 4x.所以y′＝＋cos 4x′＝－sin 4x. 4444

题型二 复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例2] 求下列函数的导数：

(1)y＝xyxcos2xsin2x22. 1＋x2； (2)

[解] (1)y′＝(x1＋2x2 1＋x2

1＋x2

1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝ 1＋x2＋

x2

1＋x2

＝

.

1ππ1

(2)∵y＝xcos2x＋sin2x＋＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，∴y′＝－xsin 4x′

2222

1x1

＝－sin 4x－cos 4x×4＝－sin 4x－2xcos 4x.

222

练习 求下列函数的导数：

(1)y＝sin2

x3

； (2)y＝sin3x＋sin x3； (3)y＝xln(1＋2x)．

x1xxxxx2x2解：(1)y′＝sin ′＝2sin ·sin ′＝2sin ·cos ·′＝sin .

33333333

(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.

(3)y′＝x′ln(1＋2x)＋x[ln(1＋2x)]′＝ln(1＋2x)＋ . 1＋2x2x题型三 复合函数导数的综合问题

[例3] 设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与3

直线y＝x在(0,0)点相切．求a，b的值．

2

[解] 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋

x＋1＋ax＋b，得f′(x)＝＋x＋12

11

13

＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即为曲线y22x＋1

33

＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得＋a＝，故a＝0.

22

练习 有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间

t(单位：s)的函数为y＝s(t)＝5－

义．

25－9t2.求函数在t＝

时的导数，并解释它的实际意

15

7

解：函数y＝5－25－9t2可以看作函数f(x)＝5－x和x＝φ(t)＝25－9t2的复合函

11-x2数，其中x是中间变量．由导数公式表可得f′(x)＝2，φ′(t)＝－18t.

11-x2再由复合函数求导法则得y′t＝s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝2·(－18t)＝

9t25－9t2

，

77将t＝代入s′(t)，得s′＝0.875.当t＝时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.

151515

7

易错 函数y＝x·e1－2x的导数为________．

[解析] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x.[答案] y′＝(1－2x)e1－2x 函数y＝ln在x＝0处的导数为________．

1＋exexx－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，则y′＝1－解析：y＝ln＝ln e. xx1＋e1＋e

exex11

当x＝0时，y′＝1－＝.答案： 1＋122

1

课后练习

1．函数y＝(2 015－8x)3的导数y′＝ ( )

A．3(2 015－8x)2 B．－24x C．－24(2 015－8x)2 D．24(2 015－8x)2

解析：y′＝3(2 015－8x)2×(2 015－8x)′＝3(2 015－8x)2×(－8)＝－24(2 015－8x)2.

2．函数y＝x2cos 2x的导数为 ( )

A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x

C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x

解y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2·(－sin 2x)(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.

3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.

33

解析：f′(x)＝·(3x－1)′＝，∴f′(1)＝.答案： 3x－13x－122

13

4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.

解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以

f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.答案：2

5．求下列函数的导数：

(1)y＝cos(x＋3)； (2)y＝(2x－1)3； (3)y＝e－2x＋1.

解：(1)函数y＝cos(x＋3)看作函数y＝cos u和u＝x＋3的复合函数，由复合函数的求导法则可得yx′＝yu′·ux′＝(cos u)′·(x＋3)′＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3)．

(2)函数y＝(2x－1)3可以看作函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法则可得yx′＝yu′·ux′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.

(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.