信丰县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

信丰县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则A．（﹣5，﹣10）

=（ ）

B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）

2． 已知A,B是球O的球面上两点，AOB60，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为183，则球O的体积为（ ）

A．81 B．128 C．144 D．288

【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．

x4y30,3． 已知，y满足不等式3x5y250,则目标函数z2xy的最大值为（ ）

x1,A．3 B．

13 C．12 D．15 2 D．

4． 过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A．

B．

C．

5． 若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（ ） A．f（x）为奇函数 6． 设函数

A．f（x）是奇函数，C．f（x）是偶函数

B．f（x）为偶函数

C．f（x）+1为奇函数 D．f（x）+1为偶函数

，则有（ ）

B．f（x）是奇函数，D．f（x）是偶函数，

y=bx

2

7． 已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时 f（x）=x，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（ ） A．10个

B．9个

C．8个

D．1个

）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的

8． 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，解析式为（ ）

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精选高中模拟试卷

A． B． C． D．

9． 若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α相交但不垂直

10．数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式an为（ ） A．2n﹣1

B．﹣3n+2

C．（﹣1）n+1（3n﹣2）

D．（﹣1）n+13n﹣2

11．某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为（ ）

A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，4 12．如果A．1

（m∈R，i表示虚数单位），那么m=（ ） B．﹣1

C．2

D．0

二、填空题

13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若6a=4b=3c，则cosB= ． 14．在极坐标系中，直线l的方程为ρcosθ=5，则点（4，

）到直线l的距离为 ．

15．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 ．

2过圆C:xya2的圆心，则实数a的值为__________．

2316．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数fxx2x，若曲线fx在点1,f1处的切线经17．已知△ABC的面积为S，三内角A，B，C的对边分别为，，．若4Sabc，

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则sinCcos(B18．直线l：

4)取最大值时C ．

（t为参数）与圆C：

（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围

是 ．

三、解答题

19．已知椭圆

（Ⅰ）求该椭圆的离心率；

22

（Ⅱ）已知点A的坐标为（0，b），椭圆上存在点P，Q，使得圆x+y=4内切于△APQ，求该椭圆的方程．

，过其右焦点F且垂直于x轴的弦MN的长度为b．

20．（1）直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； （2）已知A（﹣2，4），B（4，0），且AB是圆C的直径，求圆C的标准方程．

21．已知函数fxa（1）求fx的定义域.

1 2x1（2）是否存在实数a，使fx是奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。 （3）在（2）的条件下，令g(x)xf(x)，求证：g(x)0

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22．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．

（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

23．本小题满分10分选修45：不等式选讲 已知函数f(x)log2(x1x2m)． Ⅰ当m7时，求函数f(x)的定义域；

Ⅱ若关于x的不等式f(x)2的解集是R，求m的取值范围．

24．已知函数f（x）=lnx+ax2+b（a，b∈R）．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=﹣1，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调；

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（Ⅲ）若点A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1＞0）是曲线f（x）上的两点，试探究：当a＜0时，是否存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．

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信丰县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4， 故选B．

2． 【答案】D

【解析】当OC平面AOB平面时，三棱锥OABC的体积最大，且此时OC为球的半径．设球的半径为R，则由题意，得3． 【答案】C

114R2sin60R183，解得R6，所以球的体积为R3288，故选D． 323

考点：线性规划问题．

【易错点睛】线性规划求解中注意的事项：（1）线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础．（2）目标函数的意义，有的可以用直线在y轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示．（3）线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定． 4． 【答案】A

【解析】解：若直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点， 直线斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y=kx﹣2， 即kx﹣y﹣2=0，

22

若过点（0，﹣2）的直线l与圆x+y=1有公共点，

则圆心到直线的距离d≤1， 即

≤1，即k2﹣3≥0，

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解得k≤﹣即

≤α≤

或k≥且α≠≤α≤

， ， ，

综上所述，

故选：A．

5． 【答案】C

【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有 f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1， ∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1

∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1， ∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]， ∴f（x）+1为奇函数． 故选C

【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

6． 【答案】C

【解析】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称． 又f（﹣x）=

=

=f（x），所以f（x）为偶函数．

而f（）=故选C．

==﹣=﹣f（x），

【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．

7． 【答案】A

【解析】解：作出两个函数的图象如上

∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数 ∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化， 在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数， 在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数， 且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，

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再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数， 且当x=1时y=0； x=10时y=1，

再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，

故选：A．

【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．

8． 【答案】A

【解析】解：由函数的图象可得A=1，解得ω=2， 再把点（结合故有

故选：A．

9． 【答案】B

【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4）， ∴=﹣2， ∴∥， 因此l⊥α． 故选：B．

10．【答案】C

【解析】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）

n+1

﹣2，故通项公式an=（﹣1）（3n﹣2）．

n+1

=•=﹣，

，1）代入函数的解析式可得 sin（2×

，可得φ=

，

，

+φ）=1，

，绝对值为3n

故选：C．

11．【答案】C 【解析】

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考

点：茎叶图，频率分布直方图． 12．【答案】A

【解析】解：因为而

所以，m=1． 故选A．

（m∈R，i表示虚数单位），

，

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的概念，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是基础题．

二、填空题

13．【答案】 ∴b=

，c=2a，

．

=

=

．

【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c

由余弦定理可得cosB=故答案为：

．

【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．

14．【答案】 3 ．

【解析】解：直线l的方程为ρcosθ=5，化为x=5． 点（4，

）化为

．

∴点到直线l的距离d=5﹣2=3． 故答案为：3．

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【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．

15．【答案】﹣2≤a≤2

2

【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x﹣3ax+9≥0”，且为真命题，

则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a﹣4×2×9≤0，解得：﹣2

2

≤a≤2．

故答案为：﹣2≤a≤2

【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．

16．【答案】2

【解析】结合函数的解析式可得：f11211，

3对函数求导可得：f'x3x2，故切线的斜率为kf'13121，

22则切线方程为：y11x1，即yx2，

22圆C：xya2的圆心为0,a，则：a022.

17．【答案】【解析】

 4考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1

【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及

b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为

正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式

111abcabsinC,ah,(abc)r,. 2224R，16] ．

18．【答案】 [4

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【解析】解：直线l：化为普通方程是即y=tanα•x+1； 圆C的参数方程

=

，

（t为参数），

（θ为参数），

22

化为普通方程是（x﹣2）+（y﹣1）=64；

画出图形，如图所示；

∵直线过定点（0，1），

∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16， 最小值是2故答案为：[4

=2×，16]．

=2×

，16]．

=4

∴弦长的取值范围是[4

【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设F（c，0），M（c，y1），N（c，y2）， 则

，得y1=﹣

，y2=

，

MN=|y1﹣y2|==b，得a=2b，

=

．

椭圆的离心率为： =

（Ⅱ）由条件，直线AP、AQ斜率必然存在，

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22

设过点A且与圆x+y=4相切的直线方程为y=kx+b，转化为一般方程kx﹣y+b=0， 22

由于圆x+y=4内切于△APQ，所以r=2=

，得k=±（b＞2），

即切线AP、AQ关于y轴对称，则直线PQ平行于x轴， ∴yQ=yP=﹣2，

不妨设点Q在y轴左侧，可得xQ=﹣xP=﹣2则

∴椭圆方程为：

=

．

，

，解得b=3，则a=6，

【点评】本题考查了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质．

20．【答案】

【解析】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去； 当a≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a﹣2），（∵直线l在两坐标轴上的截距相等， ∴a﹣2=

，解得a=2或a=0；

，0）．

（2）∵A（﹣2，4），B（4，0）， ∴线段AB的中点C坐标为（1，2）． 又∵|AB|=

∴所求圆的半径r=|AB|=

．

，

22

因此，以线段AB为直径的圆C的标准方程为（x﹣1）+（y﹣2）=13．

21．【答案】

【解析】

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试

题解析：（1）由210得：x0

x∴fx的定义域为xx0------------------------------2分

（2）由于fx的定义域关于原点对称，要使fx是奇函数，则对于定义域xx0内任意一个x，都有

f(x)f(x)即：a解得：a11a xx21211 21，使fx是奇函数------------------------------------6分 211313（3）在（2）的条件下，a，则g(x)xf(x)xx 2221gx的定义域为xx0关于原点对称，且g(x)(x)3f(x)x3f(x)g(x)

∴存在实数a则g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称。

xx3当x0时，21即210又210，x0

x132x131∴g(x)xgx0 xx2(21)221当x0时，由对称性得：g(x)0分

综上：g(x)0成立。--------------------------------------------10分. 考点：1.函数的定义域；2.函数的奇偶性。

22．【答案】

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【解析】（本小题满分12分）

解：（1）甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有5×4=20种抽法 记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A， 则事件A含有的基本事件数为3×2=6…（4分） ∴

，

…（6分）

∴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是

（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B， 其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，记为事件C， 则事件C含有的基本事件数为2×1=2…（8分） ∴∴

，

，…（11分）

．…（12分）

∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件、对立事件概率计算公式的合理运用．

23．【答案】

【解析】Ⅰ当m7时，函数f(x)的定义域即为不等式x1x270的解集.[来 由于

x11x2，或， (x1)x(2)70(x1)(x2)70x2 或. 所以x3，无解，或x4.

(x1)(x2)70 综上，函数f(x)的定义域为(,3)(4,)

Ⅱ若使f(x)2的解集是R，则只需m(x1x24)min恒成立. 由于x1x24(x1)(x2)41 所以m的取值范围是(,1].

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知得

解得

…

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此时，（x＞0）．

令f'（x）=0，得x=1，f（x），f'（x）的变化情况如下表： x 1 （0，1） f'（x） f（x） + 单调递增 0 极大值 （1，+∞） ﹣ 单调递减 所以函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．… （Ⅱ）

（x＞0）．

（1）当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．… （2）当a＜0时，令f'（x）=0，得x f'（x） f（x） （0，+ 单调递增 ） 0 极大值 ），减区间为（

，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

（﹣ 单调递减 ，+∞）．… ＞m，即

．

，+∞） 所以函数f（x）的增区间为（0，

要使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调，须且只须所以对任意给定的正数m，只须取满足单调．…

的实数a，就能使得函数f（x）在区间（m，+∞）上不

（Ⅲ）存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）．… 证明如下：令g（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则

，

易得g（x）在x=1处取到最大值，且最大值g（1）=0，即g（x）≤0，从而得lnx≤x﹣1． （*）… 由令增． 且

，，

，

，得

．…

，则p（x），q（x）在区间[x1，x2]上单调递

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结合（*）式可得，，

．

令h（x）=p（x）+q（x），由以上证明可得，h（x）在区间[x1，x2]上单调递增，且h（x1）＜0，h（x2）＞0，… 所以函数h（x）在区间（x1，x2）上存在唯一的零点x0， 即

（注：在（Ⅰ）中，未计算b的值不扣分．）

【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．

成立，从而命题成立．…

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