2013年高考真题理科数学分类汇编：考点29 基本不等式含解析

考点29 基本不等式

一、选择题

1.(2013·重庆高考理科·Ｔ3)

2(3a)(a6)(6a3)的最大值为 ( )

A。9 B.9 C。3 D。 【解题指南】直接利用基本不等式求解。 【解析】选B。 当a6或a3时,

(3a)(a6)32 2(3a)(a6)0，当6a3时,

33aa69,当且仅当3aa6,即a时取等号.

2222。 (2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x，y，z满足

x2—3xy+4y2—z=0.则当xy取得最大值时，212的最大值为( ）

zxyz A.0 B.1 C。 9 D.3

4【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y来表示z,再经过变形，转化为基本不等式的问题,取等号的条件可直接代入212，进而

xyz再利用基本不等式求出212的最值。

xyz【解析】选B. 由x所以xyz23xy4y2z0，得zx23xy4y2。

xy1x4y1,当且仅当1x23xy4y2x4y3yxx4y23yxyx2，即x2y时取

等号此时z2y，

(xy)max1。 z21112y21221221212y1。 (1)(1)4xyz2yyxyyxy2y2学必求其心得，业必贵于专精

3。 (2013·山东高考文科·Ｔ12)设正实数x,y,z满足x则当

z取得最大值时，x2yz的最大值为（ xy9A。0 B。9 C.2 D。

8423xy4y2z0，

）

【解题指南】此题可先利用已知条件用x，y来表示z，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入x2yz，进而再利用基本不等式求出x2yz的最值。 【解析】 选C。 由x所以

23xy4y2z0,得zx23xy4y2.

x4yzx23xy4y2x4yx4y3231,当且仅当yxxyxyyxyx2，

即x2y时取等号此时z2y，

y2y所以x2yz2y2y2y24y2y22y2y22，

22当且仅当y=2-y时取等号.

4.(2013·福建高考文科·T7）若2x+2y=1,则x+y的取值范围是 ( )

A．0,2 B．2,0 C．2, D．,2

【解题指南】“一正二定三相等”，当题目出现正数,出现两变量，一般而言，这种题就是在考查基本不等式. 【解析】选D。 x+y≤—2. 二、填空题

5。 （2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数f(x)4xa(x0,a0)在x3xx+y-2

≤2x+2y=1,所以2x+y≤1，即2≤2,所以422xy学必求其心得，业必贵于专精

时取得最小值，则a____________。

【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将x3代入即可.

【解析】由题f(x)4xa(x0,a0),根据基本不等式4xa4a，当且仅xx当4xa时取等号，而由题知当x3时取得最小值,即a36。

x【答案】36

a|6。（2013·天津高考文科·Ｔ14)设a + b = 2, b>0, 则2|1a||b的最

小值为 .

a|【解题指南】将2|1a||b中的1由a + b代换，再由均值不等式求解。 a|ab|a|ab|a|【解析】因为a + b = 2， b>0,所以2|1a||b 4|a|b4|a|4|a|bab|a|a214|a|4|a|b4|a|a|，当且仅当4|ba||b时等号成立，此时a2，或a2，

333a51|a|1.所以. 若a2，则4|aa|14，若a2，则的最小值为4|a|42|a|b34【答案】3

47. (2013·天津高考理科·Ｔ14）设a + b = 2, b〉0， 则当a = 时,

1|a|2|a|b取得最小值.

a|【解题指南】将2|1a||b中的1由a + b代换，再由均值不等式求解。 a|ab|a|ab|a|【解析】因为a + b = 2， b〉0,所以2|1a||b 4|a|b4|a|4|a|b学必求其心得，业必贵于专精

ab|a|a214|a|4|a|b4|a|a|，当且仅当4|ba||b时等号成立,此时a2,或a2,

33a51|a|a2。 1.所以若a2，则4|aa|14，若a2,则取最小值时,4|a|42|a|b3【答案】-2

8.（2013·上海高考文科·T13）设常数

a2a＞0。若9xxa1对一切

正实数x成立，则a的取值范围为 . 【解析】 考查均值不等式的应用，

a2a21由题意知，当x0时,f(x)9x29x6aa1a

xx5【答案】

1[,) 59. （2013·陕西高考文科·Ｔ14)在如图所示的锐角三角形空地中， (m）。

40m欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分）, 则其边长x为

x40m

【解题指南】设出矩形的高y,由题目已知列出x，y的关系式，整理后利用均值不等式解决应用问题。 【解析】设矩形高为y， 由三角形相似得: 【答案】20.

x40y,且x0,y0,x40,y40 404040xy2xy,仅当xy20时，矩形的面积sxy取最大值400.