1. 什么是参数估计？（基本概念、参数估计）
答：一个总体 个参数）。比如
的分布函数，可以用
，
，其中
表示，其中 是一个未知的参数或参数向量（多是未知参数。又如
，则
是
未知参数向量。在实际问题中，总体 的参数 通常都是未知的，我们需要通过样本提供
的信息，对参数 作一个基本的估计。这就是参数估计问题。参数估计问题可以分为点估计和区间估计两大类。
2. 什么是点估计？（基本概念、点估计、估计量、估计值）
答：设总体 的分布函数的形式已知，它含有一个或多个参数是未知的，借助于总体 的
一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题。具体描述如下：
设总体 其观察值为
的分布函数为 ，其中 为未知参数。从总体 中抽取样本 ，来估计
。构造某个统计量
为 的估计值，称
，用它的观察值
未知参数 ，则称 为 的估计量，它是一个随
机变量。估计量和估计值称为 的一个点估计。点估计值或点估计量都可以简记为 。有两种基本的点估计法：矩估计和极大似然估计。
例如：某厂生产电子元件，电子元件的寿命 寿命未知，即参数
服从正态分布 ，当电子元件的平均
是未知的。若抽查了200个电子元件，测得这200个电子元件的平均寿命
个小时就可以做为电子元件平均寿命
的一个点估计。
个小时，这个
3. 什么是矩估计法？（基本概念、点估计、矩估计、矩估计量）
答：设总体 的分布函数 中，
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为 维未知参数。假定总体 的前
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阶原点矩都存在，则这些矩都可表为 的函数，即
取 阶样本原点矩做为总体 阶原点矩的估计量，则有方程组
其中 。利用上面的方程组可以解出 ，即有
则
叫做
的矩估计量。这种方法叫做参数的矩估计方法。注意，在利用矩估计法估计参
数时，有 个未知参数就要使用直到 的原点矩。
矩估计方法的理论解释如下：若总体
有
的 阶原点矩 存在，则样本 阶原点矩 与 阶总体原点矩
会充分
。这样，当 充分大时， 阶样本原点矩
接近。因而是一个合理的估计。
利用矩估计来估计参数一般分为下面三个步骤：
（1） 根据参数的个数，求总体的各阶原点矩；
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（2） 用各阶样本原点矩代替总体原点矩，为了加以区别通常在参数上加一个尖角符号，如 ；
（3） 解关于矩估计量的方程；
（4） 若给出了样本观察值，代入求得的矩估计量得到估计值。
4. 设总体 里
和
服从任何分布，且
和
的期望 和方差 均存在，这
是两个未知参数，求 的矩估计量。（例题、点估计、矩估计）
解：因为有两个未知数，故将总体的前二阶原点矩表为参数的函数，即
再用前二阶样本原点矩代替总体原点矩，有
解出 和 ，得到估计量
这个结果可以直接使用。例如：总体 自总体
的样本，求
的矩估计量。
，其中
为未知参数，
为来
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根据Gamma分布的性质可知， ，由前面的结论可知
，解之得到 ，这就是 的矩估计量。
5. 设总体 在 上服从均匀分布， 未知， 是一个样本，求 的
矩估计量。（例题、点估计、矩估计、均匀分布）
解：因为有两个未知数，故将总体的前二阶原点矩表为参数的函数，即
再用前二阶样本原点矩代替总体原点矩，有
解出 和 ，得到估计量
6. 设
为来自总体
的样本，
是样本观察值，总体
有密度
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函数 ，求 的矩估计量。（例题、点估计、矩估计）
解：因为分布只有一个参数，所以只需要一阶总体原点矩，即总体均值
。
用一阶样本原点矩代替总体一阶原点矩，得到
，解得估计量为 ，估计值为 。
7. 什么是极大似然估计法？（基本概念、极大似然估计法、似然函数）
答：极大似然估计法是估计总体参数的一种点估计法。描述如下：
（1） 首先给出似然函数的定义：设总体
，其中 是未知参数。当样本
样本的独立同分布性，记
是离散型随机变量，分布律为
得到一组观察值
时，由
若总体
是连续型随机变量时，
，记
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的概率密度函数为 ，其中 为未知参数。若取
得样本观察值为
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称
为似然函数。
（2） 设总体 仅含一个未知参数 ，并且总体的分布函数或密度函数已知，
，使得
时，
，
为一组样本观察值。若存在一个值
则称
是 的极大似然估计值，而统计量
称为 的极大似然估计和
在 的同一值处取
量。由定义可知，极大似然估计值可由方程 得最大值，因而也可以利用方程 的时候。
解得。当由于
解得，这个方程通常用在似然函数中含有指数函数
（3） 当总体 的分布中含有多个未知参数，即 时，似然函数为
。求解方程组
由这个方程解得的
分别是
的极大似然估计值。
（4） 需要注意，当方程
。
无解时，极大似然估计值应选择这样的 ，使得
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（5） 极大似然估计法的思想：一随机试验有若干个可能的结果，如果在一次抽样中某一结果出现了，便可以认为这一结果是诸个可能的结果中出现概率最大的一个。因此，参数 应该这样估计，即选择 ，使得似然函数取得最大值。
8. 设 函数
为来自总体 的样本， 是样本观察值，总体 有密度
，求 的极大似然估计量。（例题、点估计、极大似然估计）
解：设 是一组样本观察值，则参数 的似然函数为
，两边取自然对数得到
。
令， ，解得 的极大似然估计值为 ，
极大似然估计量为 。
9. 这总体 ， 为样本观察值，求 的极大似然估计值和极大似
然估计量。（例题、点估计、极大似然估计、二项分布、离散型）
解：总体 的分布律为 ，所以似然函数为
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令 ，解得 的极大似然估计值为
其中 ，而 的极大似然估计量为 。
10. 设总体 ，其中 都是未知参数。 为样本观察值。求 及
的极大似然估计值。（例题、极大似然估计法、正态分布、连续型）
解：似然函数为
，
令
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，解得 和 的极大似然估计值为
，故 和 的极大似然估计量为
。
11. 这总体 ， 是未知参数， 为样本观察值。求 的极大似然
估计，并验证极大似然估计量是有偏的。（例题、极大似然估计法、均匀分布、无偏性）
解： 的密度函数为 ，则似然函数为
，由于
以无法由该方程解出极大似然估计值 。但 大。另一方面，每个 极大似然估计值为
应满足
在 ，故当
，在 时无解，所
越
，所以 的
时为单调递减函数， 越小
时， 。
，极大似然估计量为
令 ，则 。
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已知总体的分布函数为 则 的分布函数为
，其密度函数为 ，所以
。
从而 ，所以估计量是有偏的。
12. 设 值，求
是来自指数分布总体 的一个样本观察
的极大似然估计量。（例题、极大似然估计法、指数分布）
解：构造似然函数
又 ， ，
因为当 大于零，所以令
时， 无解，注意到 随着 的增大而增加，且每个
，此时似然函数仍可以取到最大值；
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当 时，
可得 。
从而得到 的极大似然估计量为
， 。
13. 什么是统计量的评选标准？（基本概念、统计量、评选标准）
解：对于总体中的参数或参数向量 ，任何一个统计量都可以作为它的估计量。目前最常用的求估计量的方法是矩估计法和极大似然估计法。问题是，我们如何在众多的统计量中选择一个最好的呢？需要建立一些评选的标准。
（1） 无偏性：设 的数学期望等于参数 ，即 ，则称
是参数 的无偏估计量。反之称为有偏估计量。
（2） 有效性：设 若
，则称
比
有效。
和 是 的两个无偏估计量，
在从多的估计量中，首先选取无偏的估计量；若选择的估计量都是无偏的，则进一步选择有效的统计量。
14. 设总体 本均值
服从任意分布，且
分别是
和
， 。 是样本，证明样
和样本方差 的无偏估计量。（例题、无偏性）
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解：这可以直接根据无偏性的定义来验证。
，
15. 这总体
，
效。（例题、无偏性、有效性、均匀分布）
，
是未知参数，
为样本观察值，证明：
都是 的无偏估计量，并比较哪个更有
证明：根据均匀分布的性质可知， 的分布函数为 ，
令 ， ，根据Max、Min型随机变量的性质可
知， ，其密度函数为 ； ，其
密度函数为 ，所以
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，
；
，
，所以两个都是无偏估计量。
下面分析哪个统计量更为有效。
所以， ，
，
很显然，当 时，
比
，因此
更有效。
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，从而
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16. 设从均值为 方差为 的总体中抽取容量为
（其中
的两个独立的样本， ，
和
的
分别为两个样本的样本均值，证明： 无偏估计量，问当
取何值时，
为任意常数）是
是最有效的估计量。（例题、无偏性、有效性）
证明：首先计算 体均值的无偏估计量。
，注意由于样本是独立的，所以 和 也是独立的，且它们都是总
，
所以是无偏估计量。
，由于
，我们需要选取适当的 ，使得
，
代入后得到
最小，也即要求下式成立：
解得 ， 。
17. 统计量和估计量的区别。（统计量、估计量）
答：所谓统计量是指，若
是
为统计量。
为来自总体 的一个容量为 的样本，
的函数，且其中不含任何未知参数，则称这类样本函数
所谓估计量是指，若 是总体 的待定参数，用一个统计量 来估计 ，则称 为 的
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估计量。
统计量和估计量既有区别又有联系。
18. 什么是置信度、置信上限和置信下限，以及区间估计？（基本概念、置信度、置信水平、置信上限、置信下限、区间估计）
答：设总体 的分布函数 和
含有未知参数 ， 是来自总体的一个样本。
，
，分别
是两个统计量。若对给定的概率 为参数 的置信度为
有 ，则称随机区间 的置信区间。
称为置信上限和置信下限。 称为置信度或置信水平。
若给定样本观察值 ，代入 ，得到实数区间 这也叫做置信区间。
对于给定的置信度 的区间估计问题。
，如何根据样本来确定未知参数 的置信区间 ，就是参数
19. 区间估计的基本思想和步骤。（区间估计）
答：基本思想：利用总体的样本观察值，使用参数的点估计，可以求得未知参数 的估计值。但是由于样本是随机的，从而样本观察值也是随机的，我们无法知道这个估计值与参数 的真值之间是否有误差，若有误差，误差在什么范围内。因而我们期望能找出一个区间，使得参数 落入该区间内的概率是可以计算的，这样就能够在一定的可靠程度下得出妒忌之可能的最大误差。
需要注意的是，一般取 事件是一个小概率事件，但是
很小，也就是置信度 较大，使得参数 的真值落在区间外的
越小，则所得到的区间就越大，此时估计的误差也越大。
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步骤：假设给定置信度为 。
（1） 设 是无偏的；
是总体的样本，取一个 的教优的点估计 ，最好
（2） 从 出发，找一个样本函数 一个未知参数 ，
的分位点可以从表中查到；
，其分布已知，且只含有惟一
（3） 查表求得 的 及 分位点 ，使得 ；
（4） 从不等式 中解出 ，得出其等价形式
。于是
是 的置信度为
的置信区间。这时有
。区间 或
称为双侧置信区间。类似地，可以得到单侧置信区间，使得 。
20. 一个正态总体下未知参数地置信区间。（区间估计、一个正态总体）
答： 在下面地描述中，我们总是假设总体 个样本，置信度为
。
， 是来自总体 的一
已知
计，所以取样本函数
，求总体均值 的置信区间。由于总体方差已知，且 是 的去片估
（注意样本函数中只包含我们要讨论的一个参数），显然
。通过计算可知
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，
于是得到 态分布的
的置信度为 分位点。
置信区间为 ，其中 为标准正
本函数为
未知，求总体均值 的置信区间。由于总体方差未知，我们借助样本方差，取样
，简单计算后，可知
，
于是得到 是 分布的
的置信度为 分位点。
置信区间为 ，其中
未知时，总体方差 的置信区间。由于总体均值未知，而且样本方差
，对于给定的置信度
是 ，有
的
无偏估计量，所以选取样本函数为
。因此，总体方差 的置信度为 的置信区间为
，其中 分别是 分布的 和 分位点。进一步可以
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得到总体标准差 的置信度为 的置信区间为 。
21. 两个正态总体下未知参数地置信区间。（区间估计、两个正态总体）
答：在下面地描述中，我们总是假设总体
是来自总体 ，
和总体
， ，
，
。
和
的样本，其样本均值和样本方差分别为 ，
，置信度为
都已知，求总体均值差 的置信区间。由于 是 的无偏估计，
所以考虑样本函数 ，对于给定的置信度 ，有
，
得到 的置信度为 的置信区间为
，其中 为标准正态分布的 分位点。
都未知，但 ，求总体均值差 的置信区间。由于 都未
知且相等，选取样本函数
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，其中 。
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对于给定的置信度 ，有
，得到
的置信区间
的置信度为
，其中 是 分布的 分位点。
当 未知时，总体方差比 的置信区间。取样本样本函数为
，对于给定的置信度 ，有
，故 的 的置信区间为
，其中 分别为 分布的 和 分位点。
22. 参数的点估计是区间估计的一种特殊形式？（点估计、区间估计）
答：不正确。
所谓参数的点估计是指，找到一个估计量 作为待定参数 的一个近似。其近似程度由估计量的无偏性、有效性和一致性来判断。
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若在估计待定参数时考虑这种近似的误差范围，就需要在一定的置信度下考估计 落在 的某个范围内。
例如：已经知道 ，且总体方差已知为 性为
是总体均值 ，可知总体均值
的一个点估计。对于正态总体，若给定置信度 落在区间
内的可能
，这就是区间估计。
23. 若总体 的期望 和
和方差 均存在， 都是
是 的一个样本，则
比
的无偏估计量，但
更有效。（例题、无偏性、有效性）
答：正确。可以根据无偏性和有效性的定义直接计算判断。
同理
所以
和
都是无偏估计量。
又
，
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，
显然， ，所以 比 更有效。
24. 从一批零件中抽取10枚，测得零件的长度为（单位：cm）3.12，3.11，3.13，3.12，3.14，3.13，3.10，3.11，3.12，3.11，设零件的长度服从正态分布。在下列的两种情况下求总体均值
的置信度为90％的置信区间。（1）已知
（cm）；（2）
未知。（例题、区间
估计、一个正态总体、总体均值）
解：（1）已知 间为
， ， 。
，选取样本函数为 ，可知置信区
经过计算可知样本均值为
1.645，于是 ，
，所以 的置信度为90％的置信区间为 。
（2）当 间为
未知时， ，
，
，选取样本函数为 ，置信区
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查表可知 ，
计算可知 ，所以
,
，所以
。
的置信度为90％的置信区间为
25. 设某厂生产的一批零件，零件重量服从正态分布，抽取8个零件称得零件重量为（单位：克）120，121，119，118，121，120，121，121，求方差 （例题、区间估计、一个正态总体、总体方差）
与标准差
得置信区间
。
解：由于总体均值未知，选取样本函数 ，置信区间为
，标准差的置信区间为 。
经过计算可知， ， ， ，
，
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，
所以， 置信度为0.95得置信区间为 ，标准差的置信区间为
26. 从两批零件中抽取样本，从第一批抽取10个零件，测得零件的长度为（单位：cm）3.12，3.11，3.13，3.12，3.14，3.13，3.10，3.11，3.12，3.11；从第二批抽取8 个零件，测得零件的长度为（单位：cm）3.11，3.12，3.11，3.10，3.13，3.12，3.11，3.11，设两批零件的长度都服从正态分布，且总体方差相同。求 区间估计、两个正态总体、总体均值差）
的置信度为90％的置信区间。（例题、
解： 未知， ， ，选取样本函数为
。
置信区间为 ，
经过计算可知 ，
，所以
，
，
。
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故，总体均值差的置信度为0.95的置信区间为 。
27. 从两批零件中抽取样本，从第一批抽取10个零件，测得零件的长度为（单位：cm）3.12，3.11，3.13，3.12，3.14，3.13，3.10，3.11，3.12，3.11；从第二批抽取8 个零件，测得零件的长度为（单位：cm）3.11，3.12，3.11，3.10，3.13，3.12，3.11，3.11，设两批零件的长度都服从正态分布，且总体方差相同。求 间估计、两个正态总体、总体方差比）
的置信度为90％的置信区间。（例题、区
解： ， ，选取样本函数为 ，置信区间
为 。
，
，
， ，
， ,
总体方差比的置信度为0.95的置信区间为 。
28. 什么是单侧置信限？（概念、单侧置信限）
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答：设总体 本。若存在统计量
的分布函数 中含有未知参数 ， ，使得
，使得
，则称
是来自总体 的一个样
的
为参数 的置信度为
，则称
单侧置信下限。若存在统计量 度为
的单侧置信上限。
为参数 的置信
29. 为估计制造某种产品所需的单件平均工时（单位：小时），限制造5件，记录每件所需工时如下：10.5，11，11.2，12.5，12.8。设制造单件产品所需工时 均值的95％单侧置信下限和方差 单侧置信下限）
，试求总体
的96％单侧置信上限。（例题、区间估计、单侧置信上限、
解：（1）总体均值的95％单侧置信下限
由于总体均值和总体方差都是未知的，取样本函数为
，
，于是
即 。
所以 的 单侧置信下限为 。
通过计算可知， 故
，且 ，查表知 ，
。
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即制造单件产品平均工时最少为10.65小时。
（2）方差 的96％单侧置信上限
取样本函数为 ，
从而 ，
即 ，于是 的 单侧置信上限为 。
通过计算可知， ，查表得 ，
于是， ，即 的95％单侧置信上限为5.598。
30. 某单位生产一批零件，零件的长度服从正态分布 ，按照要求零件长度的
标准差不能超过0.4mm，现随机抽取8个零件，测得零件长度为（单位：mm）10.1，10.2，10.3，10.1，10.2，10.3，10.1，10.3，当置信度为95％时，估计这批令件是否符合要求。（例题，区间估计、单侧置信限）
解：显然这是一个单侧置信上限的问题。假设
。如果
，则当
时，必有
的单侧95％的置信上限为
，
，从而
此时, 此时若要求
必有
，故
，这样 以不小于95％的置信度符合要求；如果
，这样
，
满足要求的置信度达不到
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95％。
下面计算置信上限 ，并与0.4比较。
由于总体均值未知，所以选取样本函数为 足
，从而
，即
的单侧置信上限为
。
， 所以
，此时的单侧置信上限满的
单侧置信上限为
通过计算可知， ，查表可得 ，
故，
信度超过95％。
，显然 ，所以这批零件满足要求的置
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