两个重要极限的证明

两个重要的极限

1．证明：limsinx1

x0x证明：如图（a）作单位圆。当0时，显然有ΔOAD面积<扇形OAD2D B 111x1即sinxxtgx，sinxx2O x C 图（a）

A 故（1）式对一切满足不等式0|x|2的x都成立。

y sinx由limcosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得lim1。 x0x0x函数f(x)=

sinx的图象如图（b）所示。 xO x 12．证明：lim(1)n存在。

nn证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n有

图（b）

bn1an1（1） (n1)bn或bn1an1(n1)bn(ba)，整理后得不等式an1bn[(n1)anb]。

ba1111令a=1+，b=1+，将它们代入（1）。由于(n1)anb(n1)(1)n(1)1，

n1nn1n故有(11n111)(1)n，这就是说{(1)n}为递增数列。 n1nn11111代入（1）。由于(n1)anb(n1)n(1)，故有1(1)n，2n2n22n2再令a=1，b=1+

2(11n1)。不等式两端平方后有4(1)2n，它对一切自然数n成立。联系数列的单调性，由此又2n2n11推得数列{(1)n}是有界的。于是由单调有界定理知道极限lim(1)n是存在的。

nnn13．证明：lim(1)xe。

xx证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限： 1lim(1)xe （1） xx

1lim(1)xe xx （2）

1现在先应用2中数列极限lim(1)ne，证明（1）式成立。

nn设n≤x1n1)1n1xn1由（3）有f(x)<(1)g(x)，x∈[1，)。由于limf(x)lim(1)lime

xnn1n1x1n1(1111limg(x)lim(1)n1lim(1)n(1)e，根据迫敛性定理便得（1）式。 xnnnnn111y1y11现在证明（2）式。为此作代换x=-y，则(1)x(1)y(1)(1)(1)

xyy1y1y11因为当x→-∞时，有y-1→+∞，故上式右端以e为极限，这就证得lim(1)xe。

xx以后还常常用到e的另一种极限形式lim(1a)e

a01a （4）

111因为，令a，则x→∞和a→0是等价的，所以，lim(1)xlim(1a)a。

xa0xx