一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知实数m，n满足m＜0，n＞0，则下列说法一定正确的是（ ） A．log2（﹣m）＞log2n
D．
B．
C．|m|＜|n|
2．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是（ ） A．
B．
C．
D．
3．将甲、乙两名同学8次数学测验成绩统计如茎叶图所示，若乙同学8次数学测试成绩的中位数比甲同学8次数学测验成绩的平均数多1，则a=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知△ABC中，BC=6，AC=8，cosC=A．锐角三角形
B．直角三角形
，则△ABC的形状是（ ） C．等腰三角形
D．钝角三角形
的值
5．已知﹣1，a1，a2，8成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，那么为（ ） A．﹣5
B．5
C．
D．
3 39
5 54
6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表： 广告费用x（万元） 销售额y（万元）
4 49
2 26
根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．63.6万元
B．67.7万元
C．65.5万元
D．72.0万元
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9=18，则下列说法正确的是（ ）
A．
有最小值﹣3
B．有最小值3
C．有最大值﹣3
D．有最大值3 8．执行如图的程序框图，则输出的q的值为（ ）
A．10 B．34 C．36 D．154
9．已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（
）
A． B． C．1 D．
10．如图所示，四边形MNQP被线段NP切割成两个三角形分别为△MNP和△QNP，若MN⊥MP，
sin（∠MPN+
）=
，QN=2QP=2，则四边形MNQP的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题已知集合A={x|1+2x﹣3x2＞0}，B={x|2x（4x﹣1）＜0}，则A∩（∁RB）= ．
12．已知数列{an}满足a1=4，an+2an+1=6，则a4= ．
13．一艘客轮自北向南航行，上午8时在灯塔P的北偏东15°位置，且距离灯塔34海里，下午2时在灯塔P的东南方向，则这只船航行的速度为 海里/小时．
14．如图所示，正方形ABCD内接于圆O，且AE=BE=CG=DG，AH=CF=AD，则往圆O内投掷一点，该点落在四边形EFGH内的概率为 ．
15．已知数列{an}满足a1=10，an+1﹣an=2n（n∈N*），则
的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．随着网络信息时代的来临，支付宝已经实现了许多功能，如购物付款、加油付款、理财产品等，使得越来越多的人在生活中使用手机支付的便捷功能，阿里巴巴公司研究人员对某地区年龄在10～60岁间的n位市民对支付宝的使用情况作出调查，并将调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图如图所示．
（1）若被调查的年龄在20～30岁间的市民有600人，求被调查的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；
（2）若按分层抽样的方法从年龄在[20，30）以及[40，50）内的市民中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调查，求抽取的2人中，至少1人年龄在[20，30）内的概率．
2 4
3 6
4 5
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n．
（1）证明：数列{an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式； （2）求数列{
}的前n项和为Tn．
18．已知实数x，y的取值如表所示． x y
0 1
1 2
（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+．
注：回归方程为=x+，其中=，a=．
19．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量=（2a，1﹣sin2），=（cos2，2c），
=3b．
（1）证明：sinA，sinB，sinC成等差数列； （2）若b=8，B=
，求△ABC的面积S．
20．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且（1）求数列{an}的通项公式与前n项和为Sn； （2）若数列{bn}的通项公式为
=n﹣3，
=10，a3=9．
（ⅰ）求数列{bn}的前n项和为Tn；
（ⅱ）探究：数列{bn}是否有最小项？若没有，请通过计算得到最小项的项数；若没有，请说明理由．
2015-2016学年安徽省合肥八中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知实数m，n满足m＜0，n＞0，则下列说法一定正确的是（ ） A．log2（﹣m）＞log2n
D．
B．
C．|m|＜|n|
【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．
【分析】根据已知中m＜0，n＞0，结合对数函数，幂函数的单调性及不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得结论． 【解答】解：∵m＜0，n＞0，
当﹣m＜n时，log2（﹣m）＜log2n，故A错误；
，故B正确；
|m|，|n|的大小不能确定，故C错误；
，故D错误；
故选：B
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数函数，幂函数的单调性及不等式的基本性质，属于基础题．
2．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】等可能事件的概率．
【分析】用随机数表法从100名学生中抽选20人，属简单随机抽样，每人被抽到的概率都相等均为
，故某男
【解答】解：本抽样方法为简单随机抽样，每人被抽到的概率都相等均为学生被抽到的机率是 故选C
【点评】本题考查简单随机抽样、等可能事件的概率等知识，属基础知识的考查．
3．将甲、乙两名同学8次数学测验成绩统计如茎叶图所示，若乙同学8次数学测试成绩的中位数比甲同学8次数学测验成绩的平均数多1，则a=（ ）
A．4
【考点】茎叶图．
B．5
C．6
D．7
【分析】先求出甲的平均数，从而求出乙的中位数，求出a的值即可． 【解答】解：由茎叶图得：甲的平均数是
=84，
故乙的中位数是85， 故a=6， 故选：C．
【点评】本题考查了平均数、中位数的定义，是一道基础题．
4．已知△ABC中，BC=6，AC=8，cosC=A．锐角三角形
B．直角三角形
，则△ABC的形状是（ ） C．等腰三角形
D．钝角三角形
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用余弦定理可求AB的值，进而利用余弦定理可求最大角的余弦值小于0，结合B的范围即可得解．
【解答】解：∵BC=6，AC=8，cosC=∴由余弦定理可得：AB=
=﹣
＜0，
，
=
=5，
∵AC＞BC＞AB，则B为最大角， ∴cosB=
∵B∈（0，π），
=
∴B为钝角． 故选：D．
【点评】本题主要考查了余弦定理，大边对大角等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
的值
5．已知﹣1，a1，a2，8成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，那么为（ ） A．﹣5
B．5
C．
D．
【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．
【分析】由﹣1，a1，a2，8成等差数列，利用等差数列的性质列出关于a1与a2的两个关系式，联立组成方程组，求出方程组的解得到a1与a2的值，再由﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，利用等比数列的性质求出b12=4，再根据等比数列的性质得到b12=﹣b2＞0，可得出b2小于0，开方求出b2的值，把a1，a2及b2的值代入所求式子中，化简即可求出值．
【解答】解：∵﹣1，a1，a2，8成等差数列， ∴2a1=﹣1+a2①，2a2=a1+8②， 由②得：a1=2a2﹣8，
代入①得：2（2a2﹣8）=﹣1+a2， 解得：a2=5，
∴a1=2a2﹣8=10﹣8=2，
又﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列， ∴b12=﹣b2＞0，即b2＜0， ∴b22=（﹣1）×（﹣4）=4， 开方得：b2=﹣2， 则故选A
=
=﹣5．
【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等比数列的性质，熟练掌握性质是解本题的关键，同时在求b2值时，应先判断得出b2的值小于0，进而开方求出．
3 39
5 54
6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表： 广告费用x（万元） 销售额y（万元）
4 49
2 26
根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A．63.6万元
B．67.7万元
C．65.5万元
D．72.0万元
【考点】线性回归方程．
【分析】根据表中所给的数据，广告费用x与销售额y（万元）的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出的值，写出线性回归方程．将x=6代入回归直线方程，得y，可以预报广告费用为6万元时销售额． 【解答】解：由表中数据得：又回归方程=x+中的为9.4， 故=42﹣9.4×3.5=9.1， ∴=9.4x+9.1．
=3.5， =
=42，
将x=6代入回归直线方程，得y=9.4×6+9.1=65.5（万元）． ∴此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5（万元）． 故选：C．
【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确应用最小二乘法求出线性回归方程的系数的运算，是一个中档题目．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9=18，则下列说法正确的是（ ） A．
有最小值﹣3
B．有最小值3
C．有最大值﹣3
D．有最大值3
，再由对数函数
【考点】等差数列的性质．
【分析】利用等差数列的前n项和结合等差数列的性质求得的单调性得答案．
=
．
【解答】解：在等差数列{an}中由S9=18， 得
∴a3+a7=4． ∵
，
∴故选：C．
．
【点评】本题考查等差数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
8．执行如图的程序框图，则输出的q的值为（ ）
A．10 B．34 C．36
D．154
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算q值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 p=1，q=1，i=1 p=1，
满足条件i＜5，q=2，i=2，p=2 满足条件i＜5，q=4，i=3，p=6 满足条件i＜5，q=10，i=4，p=24 满足条件i＜5，q=34，i=5，p=120
不满足条件i＜5，退出循环，输出q的值为34． 故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．
9．已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（ ）
A． B． C．1
D．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，根据z=2x+y的最大值为3，先确定取得最大值时的最优解，即可求出b的值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小， 此时z最小为3，即2x+y=3．
由，解得，即A（，），
此时点A也在直线y=﹣x+b上． 即=﹣+b， 即b=． 故选：A
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，先确定最优解以及，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
10．如图所示，四边形MNQP被线段NP切割成两个三角形分别为△MNP和△QNP，若MN⊥MP，
sin（∠MPN+
）=
，QN=2QP=2，则四边形MNQP的最大值为（ ）
A． B． C．
）=
D．
【考点】正弦定理． 【分析】由已知
sin（∠MPN+
，利用正弦函数的图象和性质可求∠MPN=，
利用已知由勾股定理可得：MN2=NP2，设∠PQN=θ，在△NPQ中，利用余弦定理可得：NP2=5﹣4cosθ，进而可求SMNQP=+
【解答】解：∵∴∠MPN+
=
sin（∠MPN+，可得：∠MPN=
）=， sin（θ﹣
，sin（∠MPN+
），利用正弦函数的有界性即可得解．
）=1，
∵MN⊥MP，
∴△MNP中，MN=MP，由勾股定理可得：MN2=NP2，
设∠PQN=θ，在△NPQ中，利用余弦定理可得：NP2=NQ2+PQ2+2NQPQcosθ=4+1﹣2×2×1×cosθ=5﹣4cosθ，
，当且仅当∠PQN=
时，取等号．
则SMNQP=MN2+PQ×NQsinθ =NP2+sinθ
=（5﹣4cosθ）+sinθ =+
sin（θ﹣
）≤
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
二、填空题（2016春合肥校级期末）已知集合A={x|1+2x﹣3x2＞0}，B={x|2x（4x﹣1）＜0}，则A∩（∁RB）= 【考点】交、并、补集的混合运算．
．
【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
【解答】解：1+2x﹣3x2＞0等价于（3x+1）（x﹣1）＜0解的﹣＜x＜1， 即A=（﹣，1），
2x（4x﹣1）＜0解的0＜x＜， 即B=（0，），
，
∴∁RB=（﹣∞，0]∪[，+∞）， ∴A∩（∁RB）=故答案为：
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
．
12．已知数列{an}满足a1=4，an+2an+1=6，则a4= 【考点】数列递推式．
【分析】利用递推关系即可得出． 【解答】解：∵a1=4，an+2an+1=6，
∴4+2a2=6，解得a2=1，同理可得：a3=，a4=． 故答案为：．
【点评】本题考查了递推关系、数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．
13．一艘客轮自北向南航行，上午8时在灯塔P的北偏东15°位置，且距离灯塔34海里，下午2时在灯塔P的东南方向，则这只船航行的速度为
海里/小时．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】根据方向角的定义即可求得∠APB=120°，求出PB，在△ABP中利用余弦定理求得AB然后求解速度．
【解答】解：由题意P到AB的距离为：34cos75°， PB=34
cos75°=
=17
﹣17．
在△PAB中，AB==
这只船航行的速度为：故答案为：
．
海里/小时．
=17
．
【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，余弦定理的应用，理解方向角的定义是关键．
14．如图所示，正方形ABCD内接于圆O，且AE=BE=CG=DG，AH=CF=AD，则往圆O内投掷一点，该点落在四边形EFGH内的概率为
．
【考点】几何概型．
【分析】求出圆的面积与四边形EFGH的面积，利用几何概型的概率公式即可求出对应的概率．
，圆的面积为8π． =8，
=
．
【解答】解：设正方形的边长为4，则圆的半径为2四边形EFGH的面积为16﹣2×
﹣2×
∴往圆O内投掷一点，该点落在四边形EFGH内的概率为故答案为：
．
【点评】本题考查了几何概型的计算问题，求出对应的区域面积是解决本题的关键．
的最小值为
．
15．已知数列{an}满足a1=10，an+1﹣an=2n（n∈N*），则
【考点】数列递推式．
【分析】利用“累加求和”方法可得an，利用导数研究函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵a1=10，an+1﹣an=2n（n∈N*）， ∴an=（an﹣an﹣1）+
=2（n﹣1）+2（n﹣2）+…+2+10
+…+（a2﹣a1）+a1
=2×+10
﹣1的单调性，
=n（n﹣1）+10． ∴
=n﹣1+
，
考察函数f（x）=x+
f′（x）=1﹣=，
上单调递减，在
∴函数f（x）在又f（3）=2+
=
上单调递增．
，f（4）=3+=， ．
可知：当n=3时，f（n）取得最小值故答案为：
．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．随着网络信息时代的来临，支付宝已经实现了许多功能，如购物付款、加油付款、理财产品等，使得越来越多的人在生活中使用手机支付的便捷功能，阿里巴巴公司研究人员对某地区年龄在10～60岁间的n位市民对支付宝的使用情况作出调查，并将调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图如图所示．
（1）若被调查的年龄在20～30岁间的市民有600人，求被调查的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；
（2）若按分层抽样的方法从年龄在[20，30）以及[40，50）内的市民中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调查，求抽取的2人中，至少1人年龄在[20，30）内的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（1）结合直方图求出求出满足条件的人数即可；
（2）先求出年龄在[20，30）、[40，50）内的人数，根据古典概率公式计算即可．
．
【解答】解：（1）依题意，所求人数为
（2）依题意，年龄在[20，30）内的有3人，记为A，B，C， 年龄在[40，50）内的有2人．记为1，2； 随机抽取2人，所有可能的情况为：
（A，B），（A，C），（A，1），（A，2）， （B，C），（B，1），（B，2）， （C，1），（C，2），（1，2）， 共10种情况，
其中年龄都不在[20，30）内的情况是（1，2）， 故所求概率p=1﹣
=
．
【点评】本题考查了频率分布直方图、考查古典概型，是一道中档题．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n．
（1）证明：数列{an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式； （2）求数列{
}的前n项和为Tn．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）由a1=S1，n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1，结合等差数列的定义和通项公式即可得到；
（2）求得=（
﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，
﹣
）， ﹣
）
即可得到所求和．
【解答】（1）证明：Sn=n2+2n， 可得a1=S1=3，
n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n+1． 综上可得an=2n+1（n∈N*）， 即an﹣an﹣1=2，
则数列{an}是首项为3和公差为2的等差数列， 数列{an}的通项公式an=2n+1； （2）解：
=
=（
即有前n项和为Tn=（﹣+﹣+﹣+…+=（﹣
）=
．
【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
2 4
3 6
4 5
18．已知实数x，y的取值如表所示． x y
0 1
1 2
（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+．
注：回归方程为=x+，其中=，a=．
【考点】独立性检验；散点图．
【分析】（1）利用描点的方法绘制散点图；
（2）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程． 【解答】解：（1）散点图如下：
（2）
，
，
，
，
故==1.2，则=3.6﹣1.2×2=1.2，
所以回归直线的方程为=1.2x+1.2．
【点评】本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．
19．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量=（2a，1﹣sin2），=（cos2，2c），
=3b．
（1）证明：sinA，sinB，sinC成等差数列； （2）若b=8，B=
，求△ABC的面积S．
【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）由
=3b，可得
，再利用正弦定理、倍角
公式、等差数列的定义即可证明．
（2）由（1）可知，a+c=2b，又b=8，利用余弦定理可得ac=64，利用三角形面积计算公式即可得出．
，
，
【解答】（1）证明：∵ =3b， ∴
由正弦定理得：
∴sinA（cosC+1）+sinC（cosA+1）=3sinB， ∴sinA+sinC=2sinB，
故sinA，sinB，sinC成等差数列．
（2）解：由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac， 由（1）可知，a+c=2b，又b=8，解得ac=64， 故△ABC的面积
．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、向量数量积运算性质、等差数列的定义、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
=10，a3=9．
20．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且
（1）求数列{an}的通项公式与前n项和为Sn； （2）若数列{bn}的通项公式为
=n﹣3，
（ⅰ）求数列{bn}的前n项和为Tn；
（ⅱ）探究：数列{bn}是否有最小项？若没有，请通过计算得到最小项的项数；若没有，请说明理由．
【考点】数列的求和；数列的函数特性．
【分析】（1）根据题意和等比数列的求和公式即可求出公比q和a1，即可求出相对应的答案．
（2）（i）利用错位相减法即可求出数列的前n项和， （ii）法一：假设数列{bn}中第k项最小，则法二：由（ⅰ）知，
，解得判断即可，
，且3n﹣1＞0，根据数列的单调性即可判断．
，
【解答】解：（1）显然数列{an}的公比不为1，故解得q=3（q=﹣3舍去）， 所以
，
故，
．
（2）（ⅰ）依题意，，
， ，
，
两式相减，
故即
．
，
（ⅱ）法一：假设数列{bn}中第k项最小， 则
，
即，
，因为k∈N*，故k=2，
解得
，且3n﹣1＞0，
则数列{bn}有最小项，最小项是第2项． 法二：由（ⅰ）知，则当n＞3时，bn＞0， 当n=3时，bn=0，
当0＜n＜3时，bn＜0， 又b1=﹣4，b2=﹣10，
所以数列{bn}有最小项，最小项是第2项．
【点评】本题考查等比数列的前n项和公式，考查等比数列的通项公式与数列的函数特性（单调性），考查推理与运算能力，属中档题．
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