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函数的单调性

发布网友 发布时间:2022-04-23 20:20

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热心网友 时间:2023-08-05 01:26

1.函数的单调性是函数的递增、递减性的统称,单调区间也是如此.函数y=f(x)的单调性的实质是当自变量x处在一个不断变大的过程中,函数y也处在这个相应的不断变大(增函数)或不断变小(减函数)的过程中.
2.研究函数的单调性必须在定义域内进行,单调区间是定义域的子集.定义法是讨论函数单调性的基本而重要的方法,其步骤为:①设x1、x2是定义下的任意两个值,且x1<x2;②作差f(x1)-f(x2),并将差式变形、化简,目标是有利于判断符号;③判断
f(x1)-f(x2)的正负;④结论.
3.单调性与“区间”紧密相关,一个函数在不同区间可有不同单调性;单调性是函数在某一区间的“整体”性质,因此定义中的x1、x2具有任意性,不能用特值取代,如我们要证f(x)=x2+1在[1,3]上是增函数,不能因为f(3)>f(1)便认为得到证明,但此时可以断定f(x)在[1,3]上不是减函数(为什么?).
4.增(减)函数的图象在其区间d上从左向右是上升(下降)的.
5.如果对函数定义域内的任何x,都有f(x+t)=f(x)(t≠0,t为常数),则f(x)叫做周期函数,t叫做函数的周期.显然如果t是函数的周期,则nt(n为整数)也是函数的周期,故函数的周期是不唯一的,在所有的正周期中如果存在一个最小的周期,则叫做最小正周期,一般说函数的周期都是指函数的最小正周期.

热心网友 时间:2023-08-05 01:26

函数的单调性(monotonicity)也叫函数的增减性,可以定性描述在一个指定区间内,函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x)
的自变量在其定义区间内增大(或减小)时,函数值也随着增大(或减小),则称该函数为在该区间上具有单调性(单调增加或单调减少)。
在集合论中,在有序集合之间的函数,如果它们保持给定的次序,是具有单调性的。
如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性,则我们将D称作函数的一个单调区间,则可判断出:
D⊆Q(Q是函数的定义域)。
区间D上,对于函数f(x),∀
x1,x2∈D且x1>x2,都有f(x1)
>f(x2)。或,∀
x1,x2∈D且x1>x2,都有f(x1)
<f(x2)。
函数图像一定是上升或下降的。
该函数在E⊆D上与D上具有相同的单调性。
注意:
1、函数单调性是针对某一个区间而言的,是一个局部性质。因此,说单调性时最好指明区间。
2、有些函数在整个定义域内是单调的;有些函数在定义域内的部分区间上是增函数,在部分区间上是减函数;有些函数是非单调函数,如常数函数。
3、函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质,具有任意性,不能用特殊值代替。
4、在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间。
5、如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开。
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